Inéquation variationnelle

Étant donnés un espace de Banach ${\displaystyle \mathbb {E} }$ dont le dual topologique est noté ${\displaystyle \mathbb {E} '}$ (le crochet de dualité est noté ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$), un ensemble non vide ${\displaystyle K\subset \mathbb {E} }$ et une fonction ${\displaystyle F:K\to \mathbb {E} '}$, un problème d'inéquation variationnelle consiste à trouver un point ${\displaystyle x\in \mathbb {E} }$ tel que

Ce problème est donc noté ${\displaystyle \operatorname {IV} (F,K)}$. Géométriquement, si ${\displaystyle \mathbb {E} }$ est un espace de Hilbert, si son dual ${\displaystyle \mathbb {E} '}$ est identifié à ${\displaystyle \mathbb {E} }$ et si ${\displaystyle K}$ est convexe, il s'agit de trouver un point ${\displaystyle x\in K}$ tel que ${\displaystyle -F(x)}$ soit dans le cône normal à ${\displaystyle K}$ en ${\displaystyle x}$.

Lorsque les données ont une structure particulière, on retrouve des problèmes classiques.

• Si ${\displaystyle K=\mathbb {E} }$, le problème consiste à trouver un zéro de ${\displaystyle F}$.
• Si ${\displaystyle \mathbb {E} }$ est un espace de Hilbert, si ${\displaystyle K}$ est un convexe fermé non vide et si ${\displaystyle F=\nabla f}$ est le gradient d'une fonction convexe différentiable ${\displaystyle f:\mathbb {E} \to \mathbb {R} }$, le problème consiste à minimiser ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle K}$.
• Si ${\displaystyle \mathbb {E} =\mathbb {R} ^{n}}$, si ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}^{n}}$ est l'orthant positif de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ et si ${\displaystyle F:x\in \mathbb {R} ^{n}\mapsto Mx+q\in \mathbb {R} ^{n}}$ est une fonction affine (${\displaystyle M}$ est une application linéaire et ${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{n}}$), on retrouve le problème de complémentarité linéaire.