Lemme d'Artin-Tate

La preuve suivante peut être trouvée dans Atiyah-MacDonald^[3]. Soient ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ engendrant ${\displaystyle C}$ en tant que ${\displaystyle A}$-algèbre et soient ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ engendrant ${\displaystyle C}$ comme ${\displaystyle B}$-module. On peut alors écrire

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j}b_{ij}y_{j}\quad {\text{et}}\quad y_{i}y_{j}=\sum _{k}b_{ijk}y_{k}}$

avec ${\displaystyle b_{ij},b_{ijk}\in B}$. Alors ${\displaystyle C}$ est fini (engendré par ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$) sur la ${\displaystyle A}$-algèbre ${\displaystyle B_{0}}$ engendrée par les ${\displaystyle b_{ij},b_{ijk}}$. En utilisant le fait que ${\displaystyle A}$ et donc ${\displaystyle B_{0}}$ sont noethériens, le sous-module ${\displaystyle B\subset C}$ est lui aussi fini sur ${\displaystyle B_{0}}$. Puisque ${\displaystyle B_{0}}$ est de type fini en tant que ${\displaystyle A}$-algèbre, ${\displaystyle B}$ est aussi une ${\displaystyle A}$-algèbre de type fini.