Lemme de Kronecker

Notons ${\displaystyle s_{n}:=\sum _{k=n}^{\infty }u_{k}}$ et ${\displaystyle b_{0}:=0}$. Une transformation d'Abel donne :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}u_{k}&={\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}(s_{k}-s_{k+1})\\&={\frac {1}{b_{n}}}\left(\sum _{k=1}^{n}(b_{k}-b_{k-1})s_{k}-b_{n}s_{n+1}\right)\\&={\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}(b_{k}-b_{k-1})s_{k}-s_{n+1}\end{aligned}}}$

Comme la suite ${\displaystyle (s_{n})_{n}}$ tend vers 0, le second terme tend vers 0, et le premier aussi d'après le lemme de Cesàro généralisé.

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