Loi de réciprocité de Scholz

Soient ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ deux nombres premiers congrus à 1 mod 4 tels que le symbole de Legendre ${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)}$ est égal à 1. Alors l'idéal ${\displaystyle (p)}$ se factorise en ${\displaystyle (p)={\mathfrak {pp'}}}$ dans l' anneau des entiers de ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {q}})}$ et de même ${\displaystyle (q)={\mathfrak {qq'}}}$ dans l'anneau des entiers de ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$. Notons ${\displaystyle \varepsilon _{p}}$ et ${\displaystyle \varepsilon _{q}}$ les unités fondamentales dans ces corps quadratiques. Alors la loi de réciprocité de Scholz affirme que

${\displaystyle [\varepsilon _{p}/{\mathfrak {q}}]=[\varepsilon _{q}/{\mathfrak {p}}]}$

où [] dénote le résidu quadratique dans un corps de nombres quadratique.

• Franz Lemmermeyer, Reciprocity laws. From Euler to Eisenstein, Springer-Verlag, Berlin, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2000 (ISBN 3-540-66957-4, MR 1761696, zbMATH 0949.11002, lire en ligne)
• (de) Arnold Scholz, « Zwei Bemerkungen zum Klassenkörperturm. », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 161,‎ 1929, p. 201–207 (ISSN 0075-4102, DOI 10.1515/crll.1929.161.201, JFM 55.0103.06, lire en ligne)
• Theodor Schönemann, « Ueber die Congruenz x² + y² ≡ 1 (mod p) », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 19,‎ 1839, p. 93–112 (ISSN 0075-4102, DOI 10.1515/crll.1839.19.93, lire en ligne)

• Arithmétique et théorie des nombres