Médiane (statistiques)

Démarche générale

La méthode consiste à ordonner les valeurs en une liste croissante et à choisir la valeur qui est au centre de cette liste. Pour une liste ordonnée de ${\displaystyle n}$ éléments, ${\displaystyle n}$ étant impair, la valeur de l'élément à la position ${\displaystyle (n+1)/2}$ est la médiane. Si le nombre ${\displaystyle n}$ d'éléments est pair, toute valeur comprise entre les éléments en positions ${\displaystyle n/2}$ et ${\displaystyle n/2+1}$ est une médiane^[1] ; en pratique, dans le cas d'une liste de nombres, c'est la moyenne arithmétique de ces deux valeurs centrales qui est en général utilisée^[2],[3].

La complexité de l'algorithme de calcul de la médiane est donc la complexité de l'algorithme de tri utilisé, soit au mieux O(n log n).

Exemples

• Ensemble de 7 entiers : {12; 5; 6; 89; 5; 2390; 1}. Après tri, la série est 1, 5, 5, 6, 12, 89, 2390. La médiane est le 4^e élément de cette série, donc 6 : quatre valeurs de l'ensemble sont inférieures ou égales à 6, et quatre sont supérieures ou égales à 6.
• Ensemble de 6 entiers : {12; 5; 6; 89; 5; 1}. Après tri, la série est 1, 5, 5, 6, 12, 89. Toute valeur comprise entre le 3^e et le 4^e éléments de cette série, donc entre 5 et 6, peut être choisie comme médiane. Si l'on choisit arbitrairement 5,7 (qui est compris entre 5 et 6) trois éléments sont inférieurs ou égaux à 5,7 et trois y sont supérieurs, donc 5,7 est une médiane, mais c'est aussi le cas de 5,141, de 5,9 ou de 5,5. On prendra généralement cette dernière valeur comme médiane puisqu'elle est la moyenne arithmétique des deux éléments centraux 5 et 6.
• Supposons 21 personnes dans une pièce. Chacune prend l'argent de sa poche et le pose sur une table : 20 personnes posent 5 euros, et la dernière pose 10 000 euros. La médiane est l'élément central, le onzième, de la liste ordonnée 5, 5, 5, …, 5, 10 000. C'est donc 5 : onze personnes détenaient chacune au moins 5 euros, et onze détenaient au plus 5 euros. On remarque que si la personne la plus riche ne s'était pas présentée, la médiane aurait été la même (5 €), mais la moyenne aurait radicalement changé (5 € au lieu de 480,95 €).

• 

  Un sondage express réalisé auprès de 50 utilisateurs de Wikipédia révèle que 12 des sondés se disent très satisfaits, 7 très insatisfaits, 20 plutôt satisfaits et les autres se disent plutôt insatisfaits. Cet ensemble de réponses peut être rangé par satisfaction croissante, et on obtient une liste de cinquante éléments dans cet ordre : 7 très insatisfaits, 11 plutôt insatisfaits, 20 plutôt satisfaits, 12 très satisfaits. Les deux éléments centraux, le 25^e et le 26^e, ont la même valeur : « plutôt satisfait ». Cette valeur est donc la valeur médiane de l'ensemble des réponses.

Efficacité des algorithmes

Il existe des algorithmes de complexité linéaire (en O(n)), donc plus performants^[4]. Il s'agit d'algorithmes qui permettent de manière générale de déterminer le k-ième élément d'une liste de n éléments (voir Algorithme de sélection) ; k = n/2 pour la médiane. Ce sont des adaptations des algorithmes de tri, mais qui sont plus performants du fait que l'on ne s'intéresse pas à toutes les valeurs. On peut par exemple utiliser l'algorithme diviser pour régner en seulement O(n) opérations ; c'est le cas de l'algorithme quickselect, variation du Tri rapide (quicksort), qui est en général en O(n) mais peut être en O(n²) dans le pire des cas.

Dans la pratique, si l'on cherche la médiane d'une liste de n entiers, et si l'on a la chance de constater que la valeur maximale m est inférieure à n² (cette constatation coûte O(n)), alors le tri par comptage, de mise en œuvre très facile et dont le coût est, en l'espèce, de O(m) opérations, permet d'obtenir la médiane en moins de O(n²) opérations. Ce cas s'applique en particulier au cas des notes sur 20 (sans décimales) d'une classe de plus de 5 élèves (5 au carré est supérieur à 20).

Médianes de certaines distributions

Pour toutes les distributions symétriques, la médiane est égale à l'espérance.

Démonstration

Soit X une variable aléatoire continue réelle de densité de probabilité ${\displaystyle f}$. Si ${\displaystyle f}$ admet un axe de symétrie en ${\displaystyle x=\lambda }$ avec ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ alors ${\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} ,f(\lambda +\epsilon )=f(\lambda -\epsilon )}$. Ce qui est équivalent à dire que ${\displaystyle x\mapsto f(x+\lambda )}$ est une fonction paire.

---

Pour toutes distributions symétriques, la médiane est égale à l'axe de symétrie :

Par la relation de Chasles, on a :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{f(x)\,\mathrm {d} x}=\int _{-\infty }^{\lambda }{f(x)\,\mathrm {d} x}+\int _{\lambda }^{+\infty }{f(x)\,\mathrm {d} x}\,}$

Or puisque la fonction ${\displaystyle f(x+\lambda )}$ est paire alors ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\lambda }{f(x)\,\mathrm {d} x}=\int _{\lambda }^{+\infty }{f(x)\,\mathrm {d} x}\,}$ d'où :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{f(x)\,\mathrm {d} x}=2\int _{\lambda }^{+\infty }{f(x)\,\mathrm {d} x}=1\,\Leftrightarrow \int _{\lambda }^{+\infty }{f(x)\,\mathrm {d} x}={\frac {1}{2}}\,}$

Cette dernière intégrale correspond à la définition de la médiane pour une variable aléatoire réelle continue.

---

Pour toutes distributions symétriques, la médiane est égale à l'espérance :

Soit ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ l'espérance de la variable aléatoire X telle que :

${\displaystyle \mu =\mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x}$

En posant le changement de variable ${\displaystyle x'=x-\lambda }$ :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mu &=&\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(x'+\lambda )f(x'+\lambda )\,\mathrm {d} x'\\&=&\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x'f(x'+\lambda )\,\mathrm {d} x'+\lambda \displaystyle \underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(x'+\lambda )\,\mathrm {d} x'} _{\text{=1}}\\&=&\lambda +\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x'f(x'+\lambda )\mathrm {d} x'\end{array}}}$

Or puisque les fonctions ${\displaystyle x\mapsto f(x+\lambda )}$ et ${\displaystyle x\mapsto x}$ sont respectivement paire et impaire, alors la fonction ${\displaystyle x\mapsto xf(x+\lambda )}$ est une fonction impaire. Par conséquent, l'intégrale ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x'f(x'+\lambda )\mathrm {d} x'}$ est nulle. D'où finalement l'égalité entre l'espérance ${\displaystyle \mu }$ et la médiane ${\displaystyle \lambda }$.

CQFD.

• La médiane de la loi normale d'espérance μ et de variance σ² est μ. Pour cette distribution, espérance = médiane = mode.
• La médiane de la loi uniforme continue dans l'intervalle [a, b] est (a + b) / 2, qui est aussi l'espérance.
• La médiane de la loi de Cauchy avec le critère de position x₀ et le paramètre d'échelle y est x₀, le critère de position.
• La médiane de la loi exponentielle avec le facteur d'échelle λ est la division du logarithme népérien de 2 par le facteur d'échelle, soit (ln 2)/λ.
• La médiane de la distribution de Weibull avec le facteur de forme k et le facteur d'échelle λ est λ(ln 2)^1/k.

Propriété optimale

La médiane est aussi la valeur centrale qui minimise la valeur moyenne des écarts absolus. Dans la série {1, 2, 2, 2, 3, 9} donnée auparavant, ce serait (1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 7) / 6 = 1,5, plutôt que 1,944 à partir de la moyenne, qui, elle, minimise les écarts quadratiques. En théorie des probabilités, la valeur c qui minimise

${\displaystyle E(\left|X-c\right|)\,}$

est la médiane de la distribution de probabilités de la variable aléatoire X.

Inégalité impliquant les moyennes et les médianes

Pour les distributions continues de probabilités, la différence entre la médiane et l'espérance est au plus d'un écart type.