Médiane de Tukey

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de probabilité ${\displaystyle \mathbb {P} }$ définie sur un espace de probabilités dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. La profondeur de Tukey ou profondeur de demi-espace (halfspace depth) d'un point ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ^{n}}$ est la probabilité minimale possible sur un côté d'un hyperplan passant par ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ^{n}}$ :

${\displaystyle D_{\mathrm {Tukey} }(\mu$ ;\mathbb {P} )=\inf _{v\in \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {P} (v^{T}(X-\mu )\geqslant 0).}

La profondeur de Tukey peut être comprise comme la plus petite quantité d'observations qui peut être contenue dans un demi-espace dont la frontière passe par un point donné^[2].

La médiane de Tukey d'une loi ${\displaystyle \mathbb {P} }$ est alors le points de profondeur de Tukey maximale :

${\displaystyle T(p)=\mathrm {arg} \max _{\mu \in \mathbb {R} ^{n}}D_{\mathrm {Tukey} }(\mu$ ;\mathbb {P} ).}

Dans le cas où le problème de maximisation ci-dessus admet plusieurs solutions, on définira la médiane de Tukey comme le centre de gravité de l'ensemble solution^[3].

En dimension 1, la médiane de Tukey est la médiane usuelle.

La médiane de Tukey est un indicateur de tendance centrale robuste^[4].