Modèle de Kuramoto

Dans la version la plus connue du modèle de Kuramoto, chaque oscillateur est considéré comme ayant sa propre fréquence naturelle et est couplé de manière identique à toutes les autres oscillateurs. Étonnamment, ce modèle non-linéaire peut être résolu exactement, dans la limite où N tend vers l'infini, grâce à une transformation astucieuse et l'application d'arguments d'auto-cohérence.

Cette forme est donc régie par les équations suivantes :

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),\qquad i=1\ldots N}$

où N est le nombre d'oscillateurs, de phase ${\displaystyle \theta _{i}}$ et de fréquence propre ${\displaystyle \omega _{i}}$ avec un terme de couplage K.

On peut ajouter un bruit pour chaque oscillateur. Dans ce cas, l'équation d'origine devient :

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+\zeta _{i}+{\dfrac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sin(\theta _{j}-\theta _{i})}$

où ${\displaystyle \zeta _{i}}$ est le terme de bruit. Si l'on considère le cas d'un bruit blanc, on a :

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\rangle =0}$

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\zeta _{j}(t')\rangle =2D\delta _{ij}\delta (t-t')}$

avec ${\displaystyle D}$ désignant l'intensité du bruit.

La transformation qui permet de résoudre exactement ce modèle (dans la limite où N → ∞) est la suivante.

On définit les paramètres r et ψ par :

${\displaystyle re^{i\psi }={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}e^{i\theta _{j}}}$

Ici r représente la cohérence de phase de l'ensemble des oscillateurs et ψ est la phase moyenne. En multipliant cette équation par ${\displaystyle e^{-i\theta _{i}}}$ on obtient pour la partie imaginaire l'équation :

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+Kr\sin(\psi -\theta _{i})}$

Cela permet de découpler les équations des différents oscillateurs. Les paramètres d'ordre gouvernent alors seuls la dynamique. Une transformation supplémentaire est généralement utilisée, afin de forcer la phase moyenne à demeurer nulle (${\displaystyle \psi =0}$) en se plaçant dans le référentiel lié à cette dernière. Ainsi les équations se résument à :

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}-Kr\sin(\theta _{i})}$

Considérons maintenant la limite où N tend vers l'infini. Notons g(ω) la distribution des fréquences propres des oscillateurs (que l'on supposera normalisée), et ${\displaystyle \rho (\theta ,\omega ,t)}$ la densité d'oscillateurs de phase θ et de fréquence ω au temps t. Par normalisation, on a :

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\rho (\theta ,\omega ,t)\,d\theta =1}$

L'équation de continuité pour les oscillateurs implique

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\rho v)=0}$

où v est la vitesse de dérive des oscillateurs obtenue en prenant la limite N infinie dans l'équation transformée :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho \omega +\rho Kr\sin(\psi -\theta )]=0}$

Pour finir, il faut adapter la définition des paramètres d'ordre à la limite continue où ${\displaystyle \theta _{i}}$ est remplacé par sa moyenne statistique sur l'ensemble des ${\displaystyle \omega }$. La somme devient une intégrale :

${\displaystyle re^{i\psi }=\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\theta }\int _{-\infty }^{\infty }\rho (\theta ,\omega ,t)g(\omega )\,d\omega \,d\theta }$

L'état incohérent dans lequel tous les oscillateurs dérivent aléatoirement correspond à la solution ${\displaystyle \rho =1/(2\pi )}$. Dans ce cas,  ${\displaystyle r=0}$ et il n'y a pas de cohérence possible entre les oscillateurs. Les phases se répartissent uniformément dans tout l'espace possible et la population est dans un état stationnaire statistique (et ceci bien que la phase de chaque oscillateur continue d'évoluer à sa fréquence propre ω).

Pour un terme de couplage K suffisant, une solution synchronisée est possible. Dans l'état entièrement synchronisé, tous les oscillateurs partagent une fréquence commune bien que leurs phases puissent être différentes.

Une solution pour le cas d'une synchronisation partielle correspond à un état dans lequel une fraction seulement des oscillateurs (ceux dont la fréquence propre est proche de la fréquence moyenne) se synchronisent ; les autres dérivant de manière incohérente. Mathématiquement, la distribution des oscillateurs est la somme de deux termes :

${\displaystyle \rho =\delta \left(\theta -\psi -\arcsin \left({\frac {\omega }{Kr}}\right)\right)}$

pour les oscillateurs cohérents, et, pour les oscillateurs libres :

${\displaystyle \rho ={\frac {\alpha }{(\omega -Kr\sin(\theta -\psi ))}}}$

${\displaystyle \alpha }$ est une constante de normalisation. Cette limite apparaît lorsque ${\displaystyle |\omega |<Kr}$.