Modèle de la toile d'araignée

Le modèle de la toile d'araignée est un modèle économique qui permet de comprendre l'évolution, notamment à court terme, des prix. Si le prix des biens est fixé par la rencontre entre l'offre et la demande de ces biens, alors les phases d'ajustement (lorsqu'il y a trop de demande ou au contraire pas assez) produisent des effets sur les prix^[1].

Ce modèle a notamment été utilisé au sujet du secteur agricole. Les cultivateurs peuvent semer du blé ou du maïs. Leur choix va dépendre du prix qu’ils espèrent au moment de la récolte. Supposons que les cultivateurs prennent le prix d’aujourd’hui comme estimation du prix anticipé (anticipations statiques : ${\displaystyle p_{t+1}^{a}=p_{t}}$). Si le prix du blé est élevé et celui du maïs bas, ils vont semer beaucoup de blé. Au moment de la récolte l’offre sera forte et le prix du blé sera bas (on suppose que les cultivateurs sont obligés de vendre toute leur récolte) et celui du maïs élevé. Pour la prochaine saison les cultivateurs vont alors semer peu de blé et à la prochaine récolte le prix sera élevé. On aura alors un cycle des prix avec des valeurs élevées qui alternent avec des valeurs basses.

Un autre exemple est celui du cycle du porc^[2]. Si le prix du porc est élevé on élève beaucoup de porcs et alors après quelques mois, au moment de la vente, le prix sera bas (on est obligé de les vendre et alors l’offre est forte). On va alors élever moins de porcs et ainsi de suite.

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Soit la fonction d’offre à la période t:

${\displaystyle q_{t}^{s}=c+fp_{t}^{a}}$

où q est la quantité, ${\displaystyle p_{t}^{a}}$ le prix de vente anticipé et c, f des paramètres positifs.

Supposons que l’éleveur prend le prix d’aujourd’hui comme estimation du prix anticipé (anticipations statiques: ${\displaystyle p_{t}^{a}=p_{t-1}}$). La fonction d’offre devient:

${\displaystyle q_{t}^{s}=c+fp_{t-1}}$

Si la demande est la fonction linéaire suivante:

${\displaystyle q_{t}^{d}=a+bp_{t}}$

avec a > 0 et b < 0, on obtient le prix d’équilibre en égalisant ces deux fonctions. On obtient:

${\displaystyle p_{t}={\frac {c-a}{b}}+{\frac {f}{b}}p_{t-1}}$

La solution de cette équation aux différences finies est:

${\displaystyle p_{t}=\left[p_{o}-{\frac {c-a}{b-f}}\right]\left({\frac {f}{b}}\right)^{t}+{\frac {a-c}{f-b}}}$

Comme ${\displaystyle f/b}$ est une valeur négative, on obtient des oscillations des prix autour du prix d’équilibre de longue période ${\displaystyle p^{*}=[(a-c)/(f-b)]}$ car est négatif ou positif selon que l’exposant soit un nombre pair ou impair.

Dans le graphique avec équilibre stable, si la quantité produite est ${\displaystyle q_{1}}$ le prix payé est ${\displaystyle p_{1}}$. Ce prix élevé conduit à une forte production à la période suivante ${\displaystyle q_{2}}$ (voir la courbe d’offre S) mais alors le prix payé sera bas (pour que la demande, D, puisse absorber cette quantité) et ainsi de suite. On obtient un graphique qui ressemble à une toile d’araignée.

Si f est supérieur à la valeur absolue de b, l’équilibre est instable et les oscillations des prix deviennent de plus en plus fortes. En d’autres termes, si l’élasticité de l’offre est supérieure à l’élasticité de la demande, il n’y aurait pas de limites dans la fluctuation des prix. Samuelson^[3] imagine qu’à partir d’un certain niveau de fluctuations les pentes des courbes d’offre et de demande changent et l’élasticité de l’offre devient inférieure à celle de la demande. Les prix oscilleraient ainsi entre deux limites.