Morphisme séparé

Soit ${\displaystyle X}$ un espace topologique. Alors il est séparé si et seulement la diagonale ${\displaystyle \{(x,x)\in X\times X\}}$ de ${\displaystyle X\times X}$ est fermée dans ${\displaystyle X\times X}$ (ce dernier étant muni de la topologie produit). Ce qui rend un schéma non séparé pour sa topologie de Zariski est qu'en fait la topologie de Zariski sur ${\displaystyle X\times X}$ n'est pas la topologie produit.

Soit ${\displaystyle X\to S}$ un morphisme de schémas. Soient ${\displaystyle p,q\colon X\times _{S}X\to X}$ les projections du produit fibré de ${\displaystyle X}$ par lui-même sur ses composantes. Par la propriété universelle du produit, il existe un unique morphisme de ${\displaystyle S}$-schémas ${\displaystyle \Delta _{X/S}\colon X\to X\times _{S}X}$ tel que ${\displaystyle p\circ \Delta _{X/S}={\rm {Id}}_{X}=q\circ \Delta _{X/S}}$. Ce morphisme est appelé le morphisme diagonal de ${\displaystyle X}$ sur ${\displaystyle S}$. Son image est appelé la diagonale de ${\displaystyle X\times _{S}X}$.

Un morphisme séparé est un morphisme de schémas ${\displaystyle X\to S}$ tel que la diagonale de ${\displaystyle X\to X\times _{S}X}$ est une partie fermée.

On dit qu'un ${\displaystyle S}$-schéma ${\displaystyle X}$ est séparé si son morphisme structural ${\displaystyle X\to S}$ est séparé.

Un schéma séparé est un schéma ${\displaystyle X}$ tel que le morphisme canonique ${\displaystyle X\to {\rm {Spec}}\ \mathbb {Z} }$ est séparé.

Exemples

• Tout schéma affine est séparé.
• Le recollement de deux copies ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ de la droite affine le long de l'ouvert ${\displaystyle X_{i}\setminus \{0\}}$ est un schéma non-séparé.