Nœud plat (mathématiques)

Le nœud plat est achiral, ce qui signifie qu’il est identique à son image miroir.

Son nombre de croisements est 6, ce qui correspond au plus petit nombre possible de croisements pour un nœud composé.

Son polynôme d’Alexander est

${\displaystyle \Delta (t)=(t-1+t^{-1})^{2}}$

soit le carré du polynôme d’Alexander du nœud de trèfle. De même, le polynôme d’Alexander-Conway du nœud plat est

${\displaystyle \nabla (z)=(z^{2}+1)^{2}}$

Ces deux polynômes sont les mêmes que ceux du nœud de vache. Par contre, le polynôme de Jones du nœud plat est

${\displaystyle V(q)=(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})(q+q^{3}-q^{4})=-q^{3}+q^{2}-q+3-q^{-1}+q^{-2}-q^{-3}}$

C'est le produit des polynômes de Jones des nœuds de trèfle dextre et senestre ; il est donc différent de celui du nœud de vache.

Le groupe de nœud du nœud plat est défini par les relations :

${\displaystyle \langle x,y,z\mid xyx=yxy,xzx=zxz\rangle .\,}$

Il est isomorphe au groupe de nœud du nœud de vache, ce qui constitue l'exemple le plus simple de deux nœuds différents dont les groupes de nœud sont isomorphes.

Contrairement au nœud de vache, le nœud plat est un nœud ruban (en) et est donc aussi un nœud bordant .

Noeud plat et noeud de vache, dans MathCurve, illustrant le lien entre le nœud plat commun et le nœud plat mathématique.

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