Nombre pentagonal centré

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième pentagone centré a un point central et n – 1 couches pentagonales régulières.

Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième pentagone centré comporte 5(n – 1) points ; c'est le gnomon associé au (n – 1)-ième pentagone centré, et faisant passer au n-ième : ${\displaystyle \forall n\geq 2\quad C_{5,n}=C_{5,n-1}+5(n-1)}$, si bien que le n-ième nombre pentagonal centré est 1 + 5 fois la somme des entiers de 1 à n – 1 : ${\displaystyle C_{5,n}=1+5{\frac {n(n-1)}{2}}={5n^{2}-5n+2 \over 2}.}$

Le (n – 1)-ième nombre triangulaire étant T_n–1 = n(n – 1)/2, on a aussi : ${\displaystyle \forall n\geq 1\quad C_{5,n}=1+5\,T_{n-1}}$.

Les cinq plus petits nombres pentagonaux centrés sont C_{5, 1} = 1, C_{5, 2} = 1 + 5 = 6, C_{5, 3} = 6 + 10 = 16, C_{5, 4} = 16 + 15 = 31 et C_{5, 5} = 31 + 20 = 51.

Le 5^e est donc 1 plus 5 fois le 4-ième nombre triangulaire : ${\displaystyle {\begin{aligned}C_{5,5}&={\color {red}1}+{\color {orange}5}+{\color {green}10}+{\color {blue}15}+{\color {purple}20}\\&={\color {red}1}+5\left({\color {orange}1}+{\color {green}2}+{\color {blue}3}+{\color {purple}4}\right)\\&={\color {red}1}+5\,T_{4}\\&={\color {red}1}+5\times 10\\&=51.\end{aligned}}}$

Les nombres pentagonaux centrés inférieurs à 500 sont : 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456 (voir la suite A005891 de l'OEIS).

Le chiffre des unités en base dix de cette suite d'entiers suit le motif 1-6-6-1.

• Arithmétique et théorie des nombres