Orthogonalité hyperbolique
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En géométrie, la relation d' orthogonalité hyperbolique entre deux droite séparées par les asymptotes d'une hyperbole est un concept utilisé en relativité restreinte pour définir des événements simultanés. Deux événements seront simultanés lorsqu'ils se trouvent sur une droite hyperboliquement orthogonale à une chronologie particulière. Cette dépendance à une certaine chronologie est déterminée par la vitesse et constitue la base de la relativité de la simultanéité . De plus, le fait de maintenir les axes du temps et de l'espace hyperboliquement orthogonaux, comme dans l'espace de Minkowski, donne un résultat constant lorsque des mesures de la vitesse de la lumière sont prises.
Deux droites sont orthogonales hyperboliques lorsqu'elles sont symétriques l'une de l'autre par rapport à l'asymptote d'une hyperbole donnée. Deux hyperboles particulières sont fréquemment utilisées dans le plan :
- xy = 1 avec y = 0 comme asymptote. Par réflexion par l'axe des abscisses, une droite y = mx devient y = −mx. Dans ce cas, les droites sont hyperboliquement orthogonales si leurs pentes sont opposés.
- x2 − y2 = 1 avec y = x comme asymptote. Pour les droites y = mx avec −1 < m < 1, où x = 1/m, alors y = 1. Le point (1/m , 1) sur la droite est projeté par réflexion par rapport à la droite y = x en (1, 1/m). Ainsi, la droite réflechie a une pente de 1/m et les pentes des droites hyperboliquement orthogonales sont inverses l'une de l'autre.
Dans la terminologie de la géométrie projective, l'opération consistant à prendre la ligne orthogonale hyperbolique est une involution. Si on suppose que la pente d'une droite verticale soit notée ∞ de sorte que toutes les droites aient une pente dans la droite réelle projective étendue . Quelle que soit l'hyperbole (A) ou (B) utilisée, l'opération est un exemple d'involution hyperbolique où l'asymptote est invariante. Les lignes hyperboliquement orthogonales se situent dans différents secteurs du plan, déterminés par les asymptotes de l'hyperbole, ainsi la relation d'orthogonalité hyperbolique est une relation hétérogène sur des ensembles de lignes dans le plan.
De même que le rayon d'un cercle est perpendiculaire à la tangente, le rayon d'une hyperbole est orthogonal à une tangente à l'hyperbole[1],[2].
Une forme bilinéaire est utilisée pour décrire l'orthogonalité en géométrie analytique, avec deux éléments orthogonaux lorsque leur forme bilinéaire disparaît. Dans le plan des nombres complexes , la forme bilinéaire est , tandis que dans le plan des nombres hyperboliques la forme bilinéaire est
- Les vecteurs z 1 et z 2 dans le plan des nombres complexes, et w 1 et w 2 dans le plan des nombres hyperboliques sont dits respectivement orthogonaux euclidiens ou orthogonaux hyperboliques si leurs produits scalaires respectifs [formes bilinéaires] sont nuls[3].
La forme bilinéaire peut être calculée comme la partie réelle du produit complexe d'un nombre avec le conjugué de l'autre. Alors
- implique l'orthogonalité dans le plan complexe, tandis que
- implique que les w sont orthogonaux hyperboliques.
La notion d'orthogonalité hyperbolique est apparue en géométrie analytique en considérant les diamètres conjugués des ellipses et des hyperboles[4]. Si g et g ′ représentent les pentes des diamètres conjugués, alors dans le cas d'une ellipse et dans le cas d'une hyperbole. Lorsque a = b, l'ellipse est un cercle et les diamètres conjugués sont perpendiculaires tandis que l'hyperbole est équilatère et les diamètres conjugués sont orthogonaux hyperboliques.
La relation d'orthogonalité hyperbolique s'applique en fait aux classes de droites parallèles dans le plan, où n'importe quelle droite particulière peut représenter la classe. Ainsi, pour une hyperbole et une asymptote A données, une paire de droites ( a, b ) est orthogonale hyperbolique s'il existe une paire de droites ( c, d ) telle que , et c est l'image réfléchie de d par A.
