Orthopôle
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En géométrie, l'orthopôle d'une droite ℓ par rapport à un triangle ABC et dans le même plan est un point déterminé comme suit[1]: Soient A', B', C' les projections orthogonales sur ℓ des points A, B, C respectivement. Soient A'', B'', C'' les projections orthogonales de A', B', C' sur les côtés opposés (étendus) à A, B, C (respectivement). Alors les trois droites (A' A''), (B' B''), (C' C''), sont concourantes [2]. Le point de concours est l'orthopôle, nom donné par Joseph Neuberg.
En raison de leurs nombreuses propriétés, les orthopôles[3] ont fait l'objet d'une abondante littérature[4]. Certains sujets clés sont la détermination des droites ayant un orthopôle donné[5] et les cercles orthopolaires[6].
- L'orthopôle d'une droite ℓ est sur la droite de Simson orthogonale à ℓ
- L'orthopôle d'une droite ℓ a même puissance par rapport à tous les cercles podaires des points de ℓ
- Les droites de Simson des deux extrémités d'une corde ℓ du cercle circonscrit se croisent à l'orthopôle de ℓ[7]. L'orthopôle d'une droite ℓ qui passe par le centre du cercle circonscrit du triangle ABC se trouve sur le cercle d'Euler du triangle. Dans le cas où la droite est tangente en un point M du cercle circonscrit, l'orthopôle est le point caractéristique de la droite de Simson de M (le point où elle touche son enveloppe, la deltoïde de Steiner)
Cas particuliers
- Pour un triangle donné, l'orthopôle de chacun des trois côtés est l'orthocentre du triangle[4].
- L'orthopôle d'une droite perpendiculaire à un côté du triangle est le pied de cette perpendiculaire[4].
- Pour un faisceau de droites passant par un point P fixe[4]:
- si P est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, les orthopôles du faisceau forment le cercle d'Euler du triangle
- si P est sur le cercle circonscrit au triangle ABC, les orthopôles du faisceau forment la droite de Simson de P
- dans le cas général, les orthopôles du faisceau forment une conique dont le centre est le point milieu entre P et l'orthocentre du triangle
