Paradoxe du bol de Galilée

En utilisant des notations modernes, on définit deux volumes :

• ${\displaystyle V_{1}}$ est le « bol », c'est un cylindre de rayon 1 et de hauteur 1, auquel on a soustrait une demi-sphère de rayon 1, concentrique à la face supérieure.
• ${\displaystyle V_{2}}$ est un cône de rayon 1 et de hauteur 1.

Les deux volumes sont placés sur un même plan horizontal ${\displaystyle z=0}$, leurs sommets sont en ${\displaystyle z=1}$.

On coupe les deux volumes avec un plan d'ordonnée ${\displaystyle z_{0}\in [0,1]}$. Les deux sections des deux volumes par le plan sont égales. Pour le volume 1, la section est la différence entre deux disques, l'un de rayon 1, l'autre déterminé par la sphère : ${\displaystyle S_{1}(z_{0})=\pi -\pi \times (1-(1-z_{0})^{2})=\pi (1-z_{0})^{2}}$

Pour le volume 2, la section est un cercle, de rayon ${\displaystyle (1-z_{0})}$, d'où ${\displaystyle S_{2}(z_{0})=S_{1}(z_{0})}$.

De même, les deux sous-volumes situés au-dessus du plan sont égaux.

${\displaystyle V_{1}^{sup}(z_{0})=\int _{z_{0}}^{1}{S_{1}(z)dz}}$

${\displaystyle V_{2}^{sup}(z_{0})=\int _{z_{0}}^{1}{S_{2}(z)dz}}$

${\displaystyle V_{1}^{sup}(z_{0})=V_{2}^{sup}(z_{0})={\frac {\pi (1-z_{0})^{3}}{3}}}$

Lorsque le plan de coup arrive au sommet des volumes (${\displaystyle z_{0}=1}$), ${\displaystyle S_{1}}$ est réduit à un cercle, tandis que ${\displaystyle S_{2}}$ est réduit à un point (le sommet du cône). On est alors face à une situation paradoxale : un cercle serait égal à un seul point.