Pendule pesant

On considère un pendule pesant simple de masse m, qui se déplace à la distance l de l'axe (longueur du fil ou de la tige, considérée inextensible et sans masse). Soit θ l'angle entre l'axe vertical descendant et la tige du pendule, à un instant t et θ₀ l'angle maximal. On note g l'accélération de la pesanteur.

En négligeant les frottements, l'énergie mécanique du pendule, somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle, est constante et vaut :

${\displaystyle E_{m}=E_{c}+E_{p}={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mgl(1-\cos \theta )=mgl(1-\cos \theta _{0})}$ avec ${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}$

En dérivant la relation ci-dessus par rapport au temps, on obtient après simplification :

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0}$

Cette équation est celle d'un oscillateur non harmonique, c’est-à-dire non sinusoïdal. La période T des oscillations ne dépend pas de la masse mais dépend de l'amplitude du mouvement.

Pour de faibles oscillations, l'équation différentielle peut approximativement s'écrire :

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{l}}\theta =0}$

On voit donc que, pour de faibles amplitudes permettant d'approximer le sinus par son angle, le pendule « se comporte comme » un oscillateur harmonique. La période est alors indépendante de l'amplitude. On appelle ceci l'isochronisme des petites oscillations. Cette période s'exprime alors simplement par :

${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$

En séparant les variables dans l'équation de conservation de l'énergie, on obtient :

${\displaystyle {\frac {l}{2g}}\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=\cos \theta -\cos \theta _{0}}$

et en prenant la racine de l'expression, on obtient ${\displaystyle \mathrm {d} t={\sqrt {\frac {l}{2g}}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}$. La période T d'oscillations vaut 4 fois le temps mis pour aller de 0 à θ₀, donc :

${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {l}{2g}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}K\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}$

où K est l'intégrale elliptique complète de première espèce. Si on pose ${\displaystyle \gamma =\sin {\theta _{0} \over 2}}$, on dispose du développement en série :

${\displaystyle K(\gamma )={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}\gamma ^{2n}={\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {\gamma ^{2}}{4}}+{\frac {9\gamma ^{4}}{64}}\dots \right)={\frac {\pi }{2}}\left(1+{\theta _{0}^{2} \over 16}+{11\theta _{0}^{4} \over 3072}+...\right)}$

En reprenant l'expression ${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$ de la période pour les petites oscillations, on obtient alors comme expression de la période :

${\displaystyle T=T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}+{11\theta _{0}^{4} \over 3072}+...\right)}$

La quantité approchée ${\displaystyle T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right)}$ de la période est connue sous le nom de formule de Borda. Voir un tableau de valeurs dans l'article détaillé. On peut retenir qu'à un angle de θ₀ de 50° la période est 5 % plus grande que celle donnée par la formule simple ${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$ et que la correction due au second terme n'est perceptible qu'à des angles supérieurs à 70°.

Pour un pendule pesant quelconque, l'effet de l'inertie sur la rotation ne peut pas être ramené à une masse ponctuelle placée au centre de gravité. C'est l'ensemble du solide qui tourne, et son inertie est caractérisée par son moment d'inertie noté J et la distance l du centre de gravité à l'axe (pour le pendule simple J = ml²). Soit θ l'angle entre l'axe vertical descendant et la droite reliant l'axe du pendule à son centre d'inertie. Son énergie mécanique vaut :

${\displaystyle E_{m}=E_{c}+E_{p}={\frac {1}{2}}J{\dot {\theta }}^{2}+mgl(1-\cos \theta )=mgl(1-\cos \theta _{0})}$

La dérivée de cette équation donne :

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {mgl}{J}}\sin \theta =0}$

L'équation du mouvement est comparable à celle du pendule simple, en remplaçant ${\displaystyle {\frac {l}{g}}}$ par ${\displaystyle {\frac {J}{mgl}}}$. On peut donc appliquer les mêmes conclusions, en transcrivant les résultats. En particulier :

• aux faibles amplitudes, l'isochronisme des oscillations est aussi vérifié et la période correspondante s'exprime en fonction de J par :

${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {J}{mgl}}}}$ ;

• la valeur exacte de la période est : ${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {J}{2mgl}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}=4{\sqrt {\frac {J}{mgl}}}K\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}$ avec le même développement ${\displaystyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}+{11\theta _{0}^{4} \over 3072}+...\right)}$

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