Pentation

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Les trois premières valeurs de l'expression x[5]2. La valeur de 3[5]2 est d'environ 7,626 × 1012 ; les valeurs pour les x plus élevés, comme 4[5]2, qui est d'environ 2,361 × 108,072 × 10153, sont beaucoup trop grandes pour apparaître sur le graphique.

La pentation est la répétition de l'opération de tétration, comme la tétration est la répétition de l'opération d'exponentiation. La pentation est une hyperopération.

Comme la tétration, la pentation a peu d'applications dans la vie courante. Elle est non commutative, et a donc deux fonctions inverses, qui pourraient être appelées la penta-racine et le penta-logarithme (analogues aux deux fonctions inverses pour l'élévation à une puissance : racine et logarithme). La pentation borne également les fonctions récursives élémentaires.

Le mot pentation a été inventé par Reuben Goodstein à partir de penta- (cinq) et itération. Cela fait partie de sa convention de notation générale pour les hyperopérations.

La pentation peut s'écrire dans la notation des puissances itérées de Knuth comme $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ ou $a\uparrow ^{3}b$ .

Prolongement aux nombres négatifs ou nuls

On ne sait pas comment prolonger la pentation aux nombres complexes ou aux réels non entiers.

Par l'utilisation du super-logarithme, $a\uparrow ^{3}b$ peut être défini quand b est négatif ou nul pour un nombre limité de valeurs de b. Ainsi, pour toutes les valeurs entières strictement positives de a, la pentation négative est définie comme suit :

$a\uparrow ^{3}0=\operatorname {slog} _{a}a=1$ si a > 1.
$a\uparrow ^{3}-1=\operatorname {slog} _{a}1=0$ si a > 1.
$a\uparrow ^{3}-2=\operatorname {slog} _{a}0=-1$ si a > 1.

Pour ce qui des valeurs négatives de a, seul a = -1 peut donner lieu à une extension. Dans ce cas, selon les valeurs du nombre entier positif b, les trois valeurs possibles que l'on obtient pour $-1\uparrow ^{3}b$ sont indiquées ci-dessous :

$-1\uparrow ^{3}b={^{1}{-1}}=-1$ si b est congru à 1 modulo 3.
$-1\uparrow ^{3}b={^{-1}{-1}}=0$ si b est congru à 2 modulo 3.
$-1\uparrow ^{3}b={^{0}{-1}}=1$ si b est congru à 0 modulo 3.

Valeurs particulières

Comme l'opération à partir de laquelle elle est définie (la tétration) est difficile à prolonger à des hauteurs non entières, la pentation $a\uparrow ^{3}b$ est dans l'état actuel des connaissances définie uniquement pour des valeurs entières de a > 0 et de b ≥ 0, et à titre exceptionnel pour certains entiers négatifs. Comme toutes les autres hyperopérations d'ordre 3 (élévation à une puissance) et plus, la pentation a les cas triviaux suivants (identités) valables pour toutes les valeurs de a et b du domaine :

$1\uparrow ^{3}b=1$
$a\uparrow ^{3}1=a$

En dehors des cas triviaux indiqués ci-dessus, la pentation produit des nombres extrêmement grands très rapidement, de sorte qu'un très petit nombre de cas non triviaux produisent des valeurs pouvant être écrites dans la notation conventionnelle, comme illustré ci-dessous :


$x$	$_{2}x$	$_{3}x$	$_{4}x$
1	1	1	1
2	4	65.536	$\exp _{10}^{65.533}(4.29508)$
3	7.625.597.484.987	$\exp _{10}^{7.625.597.484.986}(1.09902)$
4	$\exp _{10}^{3}(2.19)$ (un nombre avec plus de 10¹⁵³)
5	$\exp _{10}^{4}(3.33928)$ (un nombre avec plus de 10^10²¹⁸⁴)

Prolongement aux nombres négatifs ou nuls

Valeurs particulières

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

Lien externe

Crédit d'auteurs

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