Persistance d'un nombre

Pour obtenir la persistance additive d'un nombre entier naturel, le principe consiste à additionner les chiffres de ce nombre, puis à recommencer avec le résultat obtenu jusqu'à obtenir un nombre à un seul chiffre^[1]. Par exemple, pour le nombre 2718, on obtient : 2718 → 18 → 9. Comme il faut 2 étapes pour obtenir un nombre à un chiffre, la persistance additive de 2718 est égale à 2.

Le résultat final, 9 pour cet exemple, s'appelle la racine numérique additive, ou cible additive du nombre ; un nombre étant congru à la somme de ses chiffres modulo 9, ce résultat est le reste dans la division par 9 du nombre, en remplaçant 0 par 9 si le reste est nul.

En effet, si un nombre ${\displaystyle N}$ a pour persistance additive ${\displaystyle n}$, le nombre formé de ${\displaystyle N}$ chiffres 1 (un rep-unit) a pour persistance additive ${\displaystyle n+1}$^[2].

Le tableau suivant donne les plus petits nombres pour les premières persistances additives (suite A006050 de l'OEIS).

Plus petit nombre ${\displaystyle a_{n}}$ de persistance additive ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n}$	${\displaystyle a_{n}}$
0	0
1	10
2	19
3	199
4	19999999999999999999999

La suite ${\displaystyle (a_{n})_{n\geqslant 1}}$ est la suite définie par ${\displaystyle a_{1}=10,a_{n}=2.10^{\frac {a_{n-1}-1}{9}}-1}$.

Démonstration du fait que ${\displaystyle a_{n}}$ ainsi défini est le plus petit nombre de persistance additive ${\displaystyle n}$ ^[3]:

La formule de récurrence signifie que ${\displaystyle a_{n}}$ s'écrit avec un chiffre 1 suivi de ${\displaystyle {\frac {a_{n-1}-1}{9}}}$ chiffres 9 : la somme de ses chiffres est donc égale à ${\displaystyle a_{n-1}}$ et ${\displaystyle a_{1}}$ étant de persistance additive 1, ${\displaystyle a_{n}}$ est bien de persistance additive ${\displaystyle n}$.

De plus, si un nombre est strictement inférieur à un nombre ${\displaystyle m}$ commençant par le chiffre 1 et suivi uniquement de chiffres 9 : soit il a autant de chiffres que ${\displaystyle m}$, et, commençant par un 1, la somme de ses chiffres est strictement inférieure à celle de ${\displaystyle m}$, soit il a moins de chiffres et la somme de ses chiffres est aussi strictement inférieure à celle de ${\displaystyle m}$.

Si donc on suppose (hypothèse de récurrence) que ${\displaystyle a_{n-1}}$ est le plus petit nombre de persistance ${\displaystyle n-1}$, la somme des chiffres d'un nombre ${\displaystyle N<a_{n}}$ est strictement inférieure à celle de ${\displaystyle a_{n}}$ laquelle vaut ${\displaystyle a_{n-1}}$, donc la somme des chiffres de ${\displaystyle N}$ est égale à un nombre de persistance ${\displaystyle \leqslant {n-2}}$. Donc tout nombre ${\displaystyle <a_{n}}$ a une persistance ${\displaystyle \leqslant n-2+1=n-1}$ et ${\displaystyle a_{n}}$ est le plus petit nombre de persistance ${\displaystyle n}$.

L'initialisation de la récurrence est correcte car ${\displaystyle a_{1}}$ et le plus petit nombre de persistance 1.