Polynôme symétrique

Définition

Pour ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant n}$, le k-ième polynôme symétrique élémentaire en ${\displaystyle n}$ variables, ${\displaystyle \sigma _{n,k}(X_{1},\dots ,X_{n})}$, noté plus simplement ${\displaystyle \sigma _{k}(X_{1},\dots ,X_{n})}$ est la somme de tous les produits de ${\displaystyle k}$ d'entre ces variables, c'est-à-dire, en notant ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{k}(\{1,\dots ,n\})}$ l'ensemble des combinaisons de ${\displaystyle k}$ nombres pris dans l'ensemble ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ :

${\displaystyle \sigma _{k}(X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{I\in {\mathcal {P}}_{k}(\{1,\dots ,n\})}\prod _{i\in I}X_{i}=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}}.}$

Ce polynôme est bien symétrique, puisqu'une permutation du groupe symétrique ${\displaystyle S_{n}}$ envoie bijectivement une telle combinaison sur une autre.

Exemples

• ${\displaystyle \sigma _{0}(X_{1},\dots ,X_{n})=1}$ ;
• ${\displaystyle \sigma _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})=X_{1}\cdots X_{n}}$ ;
• ${\displaystyle \sigma _{k}(X_{1},\dots ,X_{n})=0}$ si ${\displaystyle k>n}$ ;
• ${\displaystyle \sigma _{1}(X_{1},\dots ,X_{n})=X_{1}+\cdots +X_{n}=\sum _{1\leqslant i\leqslant n}X_{i}}$ ;
• ${\displaystyle \sigma _{2}(X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}X_{i}X_{j}}$,
  • Cas ${\displaystyle n=3}$ : ${\displaystyle \sigma _{2}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3}}$,
  • Cas ${\displaystyle n=4}$ : ${\displaystyle \sigma _{2}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4}}$ ;
• ${\displaystyle \sigma _{3}(X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{1\leqslant i<j<l\leqslant n}X_{i}X_{j}X_{l}}$,
  • Cas ${\displaystyle n=4}$ : ${\displaystyle \sigma _{3}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4}}$.

Une définition équivalente des polynômes symétriques élémentaires est :

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(X+X_{i})=\sum _{k=0}^{n}\sigma _{k}(X_{1},\dots ,X_{n})X^{n-k}.}$

Exemples

• ${\displaystyle n=1}$ : ${\displaystyle X+X_{1}=X+\underbrace {X_{1}} _{\sigma _{1}(X_{1})}}$ ;
• ${\displaystyle n=2}$ : ${\displaystyle (X+X_{1})(X+X_{2})=X^{2}+\underbrace {(X_{1}+X_{2})} _{\sigma _{1}(X_{1},X_{2})}X+\underbrace {X_{1}X_{2}} _{\sigma _{2}(X_{1},X_{2})}}$ ;
• ${\displaystyle n=3}$ : ${\displaystyle (X+X_{1})(X+X_{2})(X+X_{3})=X^{3}+\underbrace {(X_{1}+X_{2}+X_{3})} _{\sigma _{1}(X_{1},X_{2},X_{3})}X^{2}+\underbrace {(X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3})} _{\sigma _{2}(X_{1},X_{2},X_{3})}X+\underbrace {X_{1}X_{2}X_{3}} _{\sigma _{3}(X_{1},X_{2},X_{3})}}$.

D'après cette définition, si un polynôme unitaire ${\displaystyle R(X)}$ de degré ${\displaystyle n}$ en une indéterminée admet une factorisation

${\displaystyle R(X)=X^{n}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}X^{n-k}=\prod _{i=1}^{n}(X-z_{i})}$

en facteurs de degré 1, alors les coefficients du polynôme ${\displaystyle R}$ sont donnés comme fonctions symétriques des racines ${\displaystyle z_{i}}$, c'est-à-dire :

${\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}\sigma _{k}(z_{1},\dots ,z_{n}).}$

Théorème

Pour tout polynôme symétrique ${\displaystyle P(X_{1},\dots ,X_{n})}$ à coefficients dans A, il existe un unique polynôme ${\displaystyle Q}$ en ${\displaystyle n}$ indéterminées à coefficients dans A tel que

${\displaystyle P(X_{1},\ldots ,X_{n})=Q(\sigma _{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,\sigma _{n}(X_{1},\ldots ,X_{n})).}$

Plus formellement : le morphisme d'algèbres

${\displaystyle A[X_{1},\ldots ,X_{n}]\to A[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$

${\displaystyle Q(X_{1},\ldots ,X_{n})\mapsto Q(\sigma _{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,\sigma _{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}))}$

est injectif, et a pour image la sous-algèbre des polynômes symétriques.

Ou encore : les polynômes symétriques élémentaires d'indices > 0 engendrent la sous-algèbre unifère des polynômes symétriques, et sont algébriquement indépendants sur A. Ce résultat est parfois appelé le théorème fondamental des polynômes symétriques.

Un autre système de générateurs célèbre, lié au précédent, est constitué des sommes de Newton si A contient le corps des nombres rationnels.