Problème de Riemann

On considère un système de lois de conservation (ici pour simplifier en dimension un) :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {u} (t,x)+{\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {f} (\mathbf {u} (t,x))=0,\qquad (t,x)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} ,}$

où ${\displaystyle \mathbf {u} \colon \mathbb {\mathbb {R} } _{+}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}}$ est l'inconnue et ${\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$ est donnée. On ajoute à ce système une condition initiale :

${\displaystyle \mathbf {u} (t=0,x)=\mathbf {g} (x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

où ${\displaystyle \mathbf {g} \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}}$ est donnée.

Si la fonction g est constante par morceaux, c'est-à-dire qu'il existe ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$, ainsi que ${\displaystyle (\mathbf {g} _{G},\mathbf {g} _{D})\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m}}$ tels que

${\displaystyle \mathbf {g} (x)={\begin{cases}\mathbf {g} _{G},&x<x_{0},\\\mathbf {g} _{D},&x>x_{0},\end{cases}}\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

alors on dit que le système d'équations ci-dessus avec g pour condition initiale est un problème de Riemann.

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Le cas de la dynamique linéaire est particulier au sens où le problème est résoluble directement à l'aide de la méthode des caractéristiques.

Par exemple, pour une loi de conservation linéaire

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u(t,x)+c{\frac {\partial }{\partial x}}u(t,x)=0,\qquad (t,x)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} ,}$

où ${\displaystyle u\colon \mathbb {\mathbb {R} } _{+}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ est l'inconnue scalaire et ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ un paramètre, alors la solution est une propagation de la condition initiale ${\displaystyle g(x)=u(t=0,x)}$ à la vitesse c, sans déformation :

${\displaystyle u(t,x)=g(x-ct).}$

La situation est similaire pour un système de lois de conservation linéaires hyperboliques

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {u} (t,x)+A{\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {u} (t,x)=0,\qquad (t,x)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} ,}$

où ${\displaystyle \mathbf {\mathbf {u} } \colon \mathbb {\mathbb {R} } _{+}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}}$ est l'inconnue et A une matrice diagonalisable à valeurs propres réelles. Nous donnons un exemple simple inspiré de la dynamique des gaz (en) :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}=0,}$

avec une condition initiale constituée de deux états :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{G}\\u_{G}\end{bmatrix}}{\text{ si }}x\leq 0,\qquad {\text{et}}\qquad {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{D}\\-u_{D}\end{bmatrix}}{\text{ si }}x>0.}$  ;

Le système précédent peut se réécrire sous forme conservative ${\displaystyle \partial _{t}\mathbf {u} +A\partial _{x}\mathbf {u} =0}$ avec:

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&\rho _{0}\\{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}&0\end{bmatrix}}.}$

Les valeurs propres du système sont ses caractéristiques : ${\displaystyle \lambda _{1}=-a,\lambda _{2}=a}$. Les vecteurs propres sont

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(1)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} ^{(2)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}.}$

L'état gauche ${\displaystyle \mathbf {u} _{G}}$ se décompose sur la base des vecteurs propres par

${\displaystyle \mathbf {u} _{G}={\begin{bmatrix}\rho _{G}\\u_{G}\end{bmatrix}}=\alpha _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}},}$

où les coefficients ${\displaystyle \alpha _{1}}$ et ${\displaystyle \alpha _{2}}$ se calculent par identification :

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {a\rho _{G}-\rho _{0}u_{G}}{2a\rho _{0}}}\ ,\ \alpha _{2}={\frac {a\rho _{G}+\rho _{0}u_{G}}{2a\rho _{0}}}}$

L'état droite ${\displaystyle \mathbf {u} _{D}}$ se décompose de façon similaire

${\displaystyle \mathbf {u} _{D}={\begin{bmatrix}\rho _{D}\\u_{D}\end{bmatrix}}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\beta _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}},}$

avec les coefficients

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {a\rho _{D}-\rho _{0}u_{D}}{2a\rho _{0}}}\ ,\ \beta _{2}={\frac {a\rho _{D}+\rho _{0}u_{D}}{2a\rho _{0}}}}$

Le système peut ainsi se réécrire comme deux équations découplées scalaires telles que traitées précédemment, la première avec vitesse de propagation c= - a et condition initiale ${\displaystyle \alpha _{1}{\text{ si }}x\leq 0,\ \beta _{1}{\text{ si }}x>0}$, et la seconde avec vitesse de propagation c=a et condition initiale ${\displaystyle \alpha _{2}{\text{ si }}x\leq 0,\ \beta _{2}{\text{ si }}x>0}$.

Ainsi, nous obtenons la solution finale

${\displaystyle \mathbf {u} (t,x)={\begin{bmatrix}\rho (t,x)\\u(t,x)\end{bmatrix}}={\begin{cases}\mathbf {u} _{G},&0<t\leq -ax\\\mathbf {u} ^{*},&0\leq a|x|<t\\\mathbf {u} _{D},&0<t\leq ax\end{cases}}}$

où la solution dans le domaine compris entre les caractéristiques est définie par

${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}={\begin{bmatrix}\rho ^{*}\\u^{*}\end{bmatrix}}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}.}$

Cet exemple permet de comprendre les propriétés basiques du problème de Riemann, et en particulier la décomposition de la solution en différents domaines de l'espace-temps déterminés par les caractéristiques.