Puits de potentiel semi-classique

La cuvette est du type V(x) = 1/2 kx².

On trouve aisément que les niveaux sont :

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega _{0}}$ , n entier (positif ou nul),

puisque A(E)= T⁰E ; le niveau fondamental ${\displaystyle E_{0}=[0+{\frac {1}{2}}]\hbar \omega _{0}}$ pouvant se calculer de façon élégante par une astuce sur les inégalités d'Heisenberg.

Ce cas a été étudié dans l'article diagramme horaire, sous le nom de cuvette de Torricelli. Le point matériel, de masse m, tombe sous l'action de la pesanteur g, d'une hauteur H et rebondit élastiquement au sol avec la vitesse ${\displaystyle V^{0}={\sqrt {(}}2gH)}$ (formule dite de Torricelli).

L'orbite périodique, d'énergie E, dans l'espace des phases s'en déduit immédiatement: c'est la portion z>0 de la parabole :

${\displaystyle mv=\pm m{\sqrt {2g(H-z)}}}$

dont l'aire A(E) est donnée par l'antique formule d'Archimède : ${\displaystyle A(E)={\frac {2}{3}}mV^{0}H^{2}\sim E^{3/2}.}$ Immédiatement, on en tire le spectre d'énergie :

${\displaystyle E_{n}=n^{2/3}E_{1}}$

avec ${\displaystyle E_{1}={\frac {3}{4{\sqrt {(}}2)}}(h^{2}mg^{2})^{1/3}}$ ,

dont on vérifie aisément l'homogénéité.

Pour le calcul du niveau fondamental, on effectuera le raisonnement simpliste habituel de supposer l'énergie totale minimale soit :

${\displaystyle -{\frac {h^{2}}{m}}H^{3}+mg=0\Longleftrightarrow E_{0}\sim E_{1}}$

(inutile en semi-classique d'essayer de pousser plus avant : le calcul correct sera fait en quantique)

L'orbite de phase du puits infini n'est vraiment pas la plus simple de toute : c'est un rectangle de largeur a et de quantité de mouvement ± √2mE, d'où l'aire ${\displaystyle A(E)=2{\sqrt {(}}2)\cdot {\sqrt {mEa^{2}}}.}$ On en déduit immédiatement le spectre :

${\displaystyle E_{n}=n^{2}E_{1}}$,

avec ${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}\pi ^{2}}$,

ce qui est par hasard la formule exacte de la quantique.

Cette fois, pour un puits de profondeur E⁰, la mécanique semi-classique est impuissante à résoudre le phénomène suivant : les niveaux d'énergie se rapprochent quand on monte en énergie. Le problème se résout parfaitement en quantique.

Ici, pour faire simple, nous indiquerons la suggestion de Gamow : la particule est évanescente sur une distance

${\displaystyle d(E)={\sqrt {\frac {h^{2}}{2m}}}(E^{0}-E)}$

et il faut donc prendre comme largeur du puits non pas a, mais a+2d(E). Ceci redonne qualitativement l'allure du spectre ; quantitativement si on se laisse semi-empiriquement la latitude du coefficient numérique devant d(E), de manière à avoir le même nombre (fini) de niveaux d'énergie dans le puits, l'accord est suffisant pour ne pas avoir à pousser les calculs plus loin.