Q-analogue de l'identité de Vandermonde

La preuve habituelle de l'identité de Vandermonde simple consiste à développer le produit ${\displaystyle (1+X)^{m}(1+X)^{n}}$ de deux manières différentes. À la suite de Stanley^[1], on peut procéder de manière similaire ; d'après le q-analogue de la formule du binôme, on a :

${\displaystyle \prod _{k=0}^{m+n-1}(1+q^{k}X)=\sum _{k=0}^{m+n}q^{\frac {k(k-1)}{2}}{m+n \choose k}_{\!\!q}\,X^{k}}$.

Mais on peut aussi écrire :

${\displaystyle \prod _{k=0}^{m+n-1}(1+q^{k}X)=\prod _{k=0}^{m-1}(1+q^{k}X)\prod _{k=0}^{n-1}(1+q^{k}(q^{m}X))}$,

soit :

${\displaystyle \prod _{k=0}^{m+n-1}(1+q^{k}X)=\left(\sum _{i}q^{\frac {i(i-1)}{2}}{\binom {m}{i}}_{\!\!q}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}q^{mj+{\frac {j(j-1)}{2}}}{\binom {n}{j}}_{\!\!q}X^{j}\right).}$

En identifiant les termes en ${\displaystyle X^{k}}$, et posant ${\displaystyle i=k-j}$, on obtient :

${\displaystyle q^{\frac {k(k-1)}{2}}{\binom {m+n}{k}}_{\!\!q}=q^{\frac {(k-j)(k-j-1)}{2}}{\binom {m}{k-j}}_{\!\!q}\,q^{mj+{\frac {j(j-1)}{2}}}{\binom {n}{j}}_{\!\!q},}$

ce qui donne le résultat annoncé en simplifiant l'exposant de q.

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