Quadri-moment

Nous savions qu'en mécanique classique, la relation entre l'impulsion et la vitesse de la particule non-relativiste est la suivante :

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$ où ${\displaystyle m}$ correspond à la masse au repos.

Nous pouvons généraliser ce concept à quatre dimensions en introduisant la quadrivitesse. Pour une particule dotée de masse non nulle mais ayant une charge électrique nulle, le quadri-moment est donné par le produit de la masse au repos ${\displaystyle \ m}$ et de la quadrivitesse ${\displaystyle \ u}$.

En coordonnées contravariantes, on a ${\displaystyle \ u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\left(\gamma .c,\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z}\right)}$, où ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}}$ est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière :

${\displaystyle p^{\mu }=m\,u^{\mu }\!}$ où ${\displaystyle \mu \in {\big \{}0,1,2,3{\big \}}}$

En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz égal (à un facteur égal à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule :

${\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }={E^{2} \over c^{2}}-|{\vec {p}}|^{2}=m^{2}c^{2}}$

Puisque ${\displaystyle |p|^{2}\!}$ est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de référentiel inertiel.

En utilisant la métrique de Minkowski :

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$.

Le tenseur métrique est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(-,+,+,+)}$ au lieu de la convention ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(+,-,-,-)}$ adoptée dans cet article^{[N 3]}. Les résultats physiques sont évidemment les mêmes quelle que soit la convention choisie, mais il faut prendre garde de ne pas les mélanger.

À l'approximation des faibles vitesses, la composante temporelle de la 4-impulsion se réduit à^[48] :

${\displaystyle p^{0}c=E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}}$,

où :

• ${\displaystyle mc^{2}}$ est l'énergie de masse^[49] ;
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv}$ est l'énergie cinétique^[50].

À la même approximation, les trois composantes spatiales de la 4-impulsion se réduisent à^[51] :

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$,

qui est l'expression classique de la quantité de mouvement^[52].

La 4-impulsion permet de définir la vitesse observée d'une particule à partir de la relation^[53] :

${\displaystyle {\frac {\vec {p}}{E}}={\frac {\vec {v}}{c^{2}}}}$,

soit :

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {{\vec {p}}c^{2}}{E}}}$.

La conservation du quadri-moment dans un référentiel donné^{[N 4]} implique deux lois de conservations pour des quantités dites classiques :

1. La quantité totale d'énergie ${\displaystyle \ E=c.p^{0}}$ est invariante.
2. Le moment linéaire classique tridimensionnel ${\displaystyle {\vec {p}}}$ reste invariant.

On notera au passage que la masse d'un système de particules peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'énergie cinétique. Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {5 Gev, 4 Gev/c, 0, 0} et {5 Gev, -4 Gev/c, 0, 0} : elles ont chacune une masse au repos de 3 Gev/c² mais leur masse totale (soit encore la masse du système) est de 10 Gev/c². Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi formé est de 10 Gev/c².

Une application pratique en physique des particules de la conservation de la masse au repos permet, à partir des quadri-moments p^A et p^B de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule initiale. La conservation du quadrimoment donne q_μ = p^A_μ + p^B_μ, et la masse M de la particule initiale est donnée par |q|² = M²c². En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du système des 2 particules qui est égal à M. Cette technique est notamment utilisée dans les recherches expérimentales sur le boson Z dans les accélérateur de particules.

Si la masse d'un objet ne change pas, le produit scalaire de Minkowski de son quadri-moment et de la quadri-accélération correspondante A^μ est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule:

${\displaystyle p_{\mu }A^{\mu }=p_{\mu }{\frac {d}{dt}}{\frac {\eta ^{\mu \nu }p_{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}|p|^{2}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}(m^{2}c^{2})=0}$.

Il est également utile de définir un moment "canonique" (à 4 dimensions), pour des applications en mécanique quantique relativiste : ${\displaystyle P^{\mu }}$, qui est la somme du quadri-moment et du produit de la charge électrique avec le potentiel (qui est un vecteur à 4 dimensions) :

${\displaystyle P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }\!}$,

où le 4-vecteur potentiel est une combinaison entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur du champ magnétique :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi /c\\A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}}$.