Racine carrée d'une matrice

Soient un entier naturel n non nul et M une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau A. Un élément R de M_n(A) est une racine carrée de M si R² = M.

Une matrice donnée peut n'admettre aucune racine carrée, comme un nombre fini voire infini de racine carrées.

Dans M₂(ℝ) :

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-4\\0&2\end{pmatrix}}}$ est une racine carrée de ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-12\\0&4\end{pmatrix}}\$ ;}
• pour tout réel x, la matrice ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&x\\0&-1\end{pmatrix}}}$ est une racine carrée de ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\$ ;}
• ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$ n'a pas de racine carrée réelle R, car cela imposerait ${\displaystyle 0\leq (\det(R))^{2}=\det(R^{2})=\det(M)=-1}$ (mais elle en a dans M₂(ℂ)).

Dans M₂(ℂ), la matrice ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ n'a pas de racine carrée, parce qu'elle est non nulle mais de carré nul (on dit qu'elle est nilpotente d'indice 2). En effet, une racine carrée R serait aussi nilpotente (de puissance 4^e nulle), or toute matrice nilpotente de taille 2 est de carré nul. On aurait donc M = R² = 0, ce qui n'est pas le cas.

De manière plus générale, si M admet une forme de Jordan

${\displaystyle M=P^{-1}{\begin{pmatrix}J_{k_{1}}(\lambda _{1})&&&&\\&J_{k_{2}}(\lambda _{2})&&\mathbf {0} &\\&&\ddots &&\\&\mathbf {0} &&\ddots &\\&&&&J_{k_{r}}(\lambda _{r})\\\end{pmatrix}}P,~{\textrm {avec}}~J_{k}(\lambda )={\begin{pmatrix}\lambda &1&&&&\\&\lambda &1&&\mathbf {0} &\\&&\ddots &\ddots &&\\&&&\ddots &\ddots &\\&\mathbf {0} &&&\lambda &1\\&&&&&\lambda \\\end{pmatrix}}.}$

où les scalaires λ_i sont les valeurs propres de M, alors toute matrice de la forme

${\displaystyle M=P^{-1}{\begin{pmatrix}Q_{k_{1}}(\lambda _{1})&&&&\\&Q_{k_{2}}(\lambda _{2})&&\mathbf {0} &\\&&\ddots &&\\&\mathbf {0} &&\ddots &\\&&&&Q_{k_{r}}(\lambda _{r})\\\end{pmatrix}}P,~{\textrm {avec}}~Q_{k}(\lambda )={\begin{pmatrix}f(\lambda )&f'(\lambda )&\ldots &\ldots &\ldots &{\frac {f^{(k-1)}(\lambda )}{(k-1)!}}\\&f(\lambda )&f'(\lambda )&\ddots &\ddots &\vdots \\&&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &\ddots &\vdots \\&\mathbf {0} &&&f(\lambda )&f'(\lambda )\\&&&&&f(\lambda )\\\end{pmatrix}}.}$

avec f étant la fonction racine carrée sur une des branches est une racine carrée de M^[1].

Si R est une racine carrée de M alors R est inversible si et seulement si M l'est.

Si une matrice est inversible, les racines carrées de son inverse sont les inverses de ses racines carrées.

Toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable via une matrice de passage orthogonale, et elle est positive si et seulement si ses valeurs propres sont des réels positifs ou nuls. Par ailleurs, si une matrice S est diagonalisable alors son carré a les mêmes sous-espaces propres (associés aux carrés des valeurs propres de S). Par conséquent, parmi les racines carrées d'une matrice symétrique positive M, une et une seule est symétrique positive : la matrice S qui a les mêmes sous-espaces propres que M et dont les valeurs propres associées sont les racines carrées respectives de celles de M. De plus, lorsque M est définie positive, S l'est aussi.

Pour les matrices à coefficients complexes, la situation est la même en remplaçant « symétrique » par « hermitienne » et « orthogonale » par « unitaire » .

Le calcul d'une racine carrée d'une matrice A peut s'effectuer par convergence d'une suite de matrices.

On cherche une matrice X telle que X² = A. En considérant une matrice X_r qui approche X par X_r + E = X. On en déduit un schéma itératif pour le calcul de la racine carrée d'une matrice A sous la forme d'une équation de Sylvester :

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{k}E_{k}+E_{k}X_{k}&=A-X_{k}^{2},\\X_{k+1}&=X_{k}+E_{k}.\end{aligned}}}$

On peut simplifier en une équation, qui rappelle le schéma de la méthode de Newton :

${\displaystyle X_{k+1}=X_{k}+{\frac {1}{2}}(A-X_{k}^{2})X_{k}^{-1},}$

mais cette forme peut induire des problèmes de stabilité^[2].

Soit Y₀ = A et Z₀ = I où I est la matrice identité. Chaque itération repose sur :

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{k+1}&={\tfrac {1}{2}}(Y_{k}+Z_{k}^{-1}),\\Z_{k+1}&={\tfrac {1}{2}}(Z_{k}+Y_{k}^{-1}).\end{aligned}}}$

La convergence n'est pas garantie (même si A possède une racine carrée) mais si elle a lieu alors la suite Y_k converge de façon quadratique vers A^1/2, tandis que la suite Z_k converge vers son inverse, A^{–1/2 [3],[4]}.