Rotation irrationnelle

En mathématiques, dans la théorie des systèmes dynamiques, une rotation irrationnelle est une application

${\displaystyle T_{\theta }:[0,1]\rightarrow [0,1],\quad T_{\theta }(x)\triangleq x+\theta \mod 1,}$

Cet article ne cite aucune source et peut contenir des informations erronées (signalé en février 2026).

En identifiant un cercle à R/Z, ou à l'intervalle [0, 1] où 0 et 1 sont considérés comme le même point (une rotation d'angle θ=1 est pareil qu'une rotation d'angle θ=0), cette application devient une rotation d'un cercle d'une proportion θ d'une révolution complète (c'est-à-dire un angle de 2πθ . radians). Puisque θ est irrationnel, la rotation a un ordre infini dans le groupe du cercle et l'application T_θ n'a pas d'orbites périodiques.

On peut aussi utiliser la notation multiplicative pour une rotation irrationnelle en introduisant l'application

${\displaystyle T_{\theta }:S^{1}\to S^{1},\quad \quad \quad T_{\theta }(x)=xe^{2\pi i\theta }}$

La relation entre les notations additive et multiplicative est l'isomorphisme de groupe suivant.

${\displaystyle \varphi$ :([0,1],+)\to (S^{1},\cdot )\quad \varphi (x)=xe^{2\pi i\theta }}

On peut démontrer que φ est une isométrie.

Dans l'ensemble des rotations, la distinction entre rotation rationnel et rotation irrationnel est importante. Les rotations rationnelles sont des exemples moins intéressants de systèmes dynamiques car si ${\displaystyle \theta ={\frac {a}{b}}}$ et ${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$, alors ${\displaystyle T_{\theta }^{b}(x)=x}$ quand ${\displaystyle x\in [0,1]}$. Il peut également être démontré que ${\displaystyle T_{\theta }^{i}(x)\neq x}$ quand ${\displaystyle 1\leq i<b}$.