Règle de la somme

De façon plus formalisée, la règle de la somme a trait à la théorie des ensembles. Elle établit que la somme des tailles d'une collection finie d'ensembles deux à deux disjoints est la taille de la réunion de ces ensembles. Ainsi, si S₁, … , S_n sont des ensembles deux à deux disjoints, alors :

${\displaystyle |S_{1}|+|S_{2}|+\cdots +|S_{n}|=|S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots \cup S_{n}|}$.

Le principe d'inclusion-exclusion peut être considéré comme une généralisation de la règle de la somme, au sens où il dénombre également les éléments dans la réunion de plusieurs ensembles, sans que ces ensembles doivent être disjoints. Il établit que si A₁, … , A_n sont des ensembles finis, alors

${\displaystyle {\begin{aligned}{\biggl |}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr |}&{}=\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|-\sum _{1\leq i<j\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\right|\\&{}\qquad +\sum _{1\leq i<j<k\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right|-\ \cdots \ +\left(-1\right)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|.\end{aligned}}}$

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