Résidu à l'infini

Ce théorème peut s'avérer efficace dans le calcul d'intégrales définies. Considérons par exemple de calculer par le biais des résidus l'intégrale suivante :

${\displaystyle I=\int _{-1}^{1}{\mathrm {d} x \over {\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

L'intégrale peut être calculée en utilisant les méthodes habituelles de l'analyse réelle et le résultat est ${\displaystyle I=\pi }$.

Il existe une détermination holomorphe de ${\displaystyle {\sqrt {1-z^{2}}}}$ sur l'ouvert ${\displaystyle U=\mathbb {C} \backslash [-1,1]}$ :

${\displaystyle {\sqrt {1-z^{2}}}={\sqrt {1-z}}{\sqrt {1+z}}={\sqrt {|1-z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{1}/2}{\sqrt {|1+z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{2}/2}}$

avec ${\displaystyle \theta _{1}\in [0,2\pi [}$ et ${\displaystyle \theta _{2}\in [-\pi ,\pi [}$ (c'est la détermination principale).

Soit le contour ${\displaystyle \gamma }$ entourant la discontinuité et illustré sur la figure.

Il est clair que ce contour est homotope au cercle ${\displaystyle C(0,R)}$ centré à l'origine et de rayon R>1.

On a donc :

${\displaystyle I^{*}=\int _{\gamma }f(z)~\mathrm {d} z=\int _{C(0,R)}f(z)~\mathrm {d} z=-2i\pi \mathrm {Res} (f,\infty ).}$

Commençons par calculer le résidu à l'infini :

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,\infty )=\mathrm {Res} \left({-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right)}$

où l'on a :

${\displaystyle {-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right)={-1 \over z^{2}}\cdot {1 \over {\sqrt {1-1/z^{2}}}}={-1 \over z{\sqrt {z^{2}-1}}}.}$

Le résidu vaut donc :

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,\infty )=\lim _{z\to 0}z\cdot {-1 \over z{\sqrt {z^{2}-1}}}=i.}$

Par conséquent on a :

${\displaystyle I^{*}=2\pi .}$

Il reste à passer à la limite ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ; en décomposant l'intégrale en quatre chemins illustrés à la figure ci-contre, on a :

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\int _{\gamma }f(z)~\mathrm {d} z=\lim _{\epsilon \to 0}\left(\int _{\gamma _{+}\circ \gamma _{-}}f(z)~\mathrm {d} z+\int _{\gamma _{\epsilon }\circ \gamma '_{\epsilon }}f(z)~\mathrm {d} z\right).}$

Par estimation standard, on montre que le deuxième terme du membre de droite tend vers zéro à la limite. Par ailleurs, lorsque ${\displaystyle \epsilon \to 0}$, le long de ${\displaystyle \gamma _{+}}$, ${\displaystyle \theta _{1}}$ et ${\displaystyle \theta _{2}}$ tendent vers ${\displaystyle \pi }$ ; le long de ${\displaystyle \gamma _{-}}$, ${\displaystyle \theta _{1}}$ tend vers ${\displaystyle \pi }$ et ${\displaystyle \theta _{2}}$ vers ${\displaystyle -\pi }$, on a donc :

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\int _{\gamma _{+}}{\mathrm {d} z \over {\sqrt {|1-z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{1}/2}{\sqrt {|1+z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{2}/2}}=\int _{+1}^{-1}{-\mathrm {d} x \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

avec ${\displaystyle \mathrm {e} ^{i(\pi +\pi )/2}=\mathrm {e} ^{i\pi }=-1}$ et

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\int _{\gamma _{-}}f(z)~\mathrm {d} z=\int _{-1}^{+1}{\mathrm {d} x \over {\sqrt {1-x^{2}}}}=I}$

avec ${\displaystyle \mathrm {e} ^{i(\pi -\pi )/2}=1}$.

On a finalement :

${\displaystyle I^{*}=\lim _{\epsilon \to 0}\left(\int _{\gamma _{+}}f(z)~\mathrm {d} z+\int _{\gamma _{-}}f(z)~\mathrm {d} z\right)=2I}$

et nous avons bien le résultat espéré, à savoir ${\displaystyle I=\pi }$.

Il était ici beaucoup plus aisé de passer par l'analyse réelle mais la méthode présentée ci-dessus peut être utilisée dans des cas pour lesquels une forme analytique simple n'existe pas. L'exemple ci-dessus a cependant l'avantage d'être représentatif et relativement simple.

• Murray R. Spiegel, Variables complexes, McGraw-Hill, 1973 (ISBN 978-2-7042-0020-7)
• Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes, Hermann, 1961

Fonction multivaluée

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