Séparatrice

Soit l'équation différentielle décrivant le mouvement d'un pendule simple :

${\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0.}$

où ${\displaystyle \ell }$ désigne la longueur du pendule, ${\displaystyle g}$ l'accélération de pesanteur et ${\displaystyle \theta }$ l'angle entre le pendule et la verticale. Dans ce système, la quantité H donnée par l'équation ci-dessous, appelée hamiltonien, est conservée :

${\displaystyle H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta .}$

Ceci posé, on peut tracer une courbe à H constant dans l'espace des phases du système. L'espace des phases est représenté par un graphique avec ${\displaystyle \theta }$ le long de l'axe horizontal et ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ sur l’axe vertical (schéma à droite). Le type de courbe résultante dépend de la valeur de H .

• Si ${\displaystyle H<-{\frac {g}{\ell }}}$ alors aucune courbe n'existe (car ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ est alors imaginaire).
• Si ${\displaystyle -{\frac {g}{\ell }}<H<{\frac {g}{\ell }}}$ alors la courbe sera une courbe simple fermée, presque circulaire pour H petit, et prend la forme d'un « œil » lorsque H s'approche de la limite supérieure. Ces courbes correspondent au balancement périodique du pendule d’un côté à l’autre.
• Si ${\displaystyle {\frac {g}{\ell }}<H}$ alors la courbe est ouverte, et cela correspond au pendule décrivant un cercle complet autour de son point d'attache.

Dans ce système la séparatrice est la courbe qui correspond à ${\displaystyle H={\frac {g}{\ell }}}$. Elle sépare — d'où son nom — l'espace des phases en deux zones distinctes, chacune avec un type de mouvement différent. La région à l'intérieur de la séparatrice présente toutes les courbes d'espace de phase qui correspondent au pendule oscillant d'avant en arrière, tandis que la région à l'extérieur de la séparatrice présente toutes les courbes d'espace de phase qui correspondent au pendule décrivant des cercles complets autour de son point d'attache.

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