Sous-variété lagrangienne

Une forme symplectique ${\displaystyle \omega }$ sur un fibré vectoriel ${\displaystyle E\rightarrow M}$ est une section en tout point non dégénérée du fibré ${\displaystyle E^{*}\wedge E^{*}\rightarrow M}$. Un sous-fibré vectoriel ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle E}$ est dit lagrangien lorsque les fibres ${\displaystyle F_{x}}$ sont des sous-espaces vectoriels lagrangiens des fibres ${\displaystyle E_{x}}$, i.e. :

${\displaystyle \forall u\in F_{x},\;\omega _{x}(u,\cdot )=0}$

Exemple : Si ${\displaystyle E\to M}$ est un fibré vectoriel réel, alors ${\displaystyle E\oplus E^{*}\to M}$ est naturellement muni d'une forme symplectique ${\displaystyle \omega }$ donnée par :

${\displaystyle \omega (v\oplus v^{*},w\oplus w^{*})=v^{*}(w)-w^{*}(v)}$

Le fibré ${\displaystyle E}$ est un sous-fibré lagrangien du fibré symplectique ${\displaystyle E\oplus E^{*}}$.

Si ${\displaystyle L}$ est une sous-variété différentielle de ${\displaystyle M}$, le fibré tangent ${\displaystyle TM\rightarrow M}$ se restreint sur ${\displaystyle L}$ en un fibré de rang ${\displaystyle n}$.

Une sous-variété ${\displaystyle L}$ d'une variété symplectique ${\displaystyle (M,\omega )}$ est dite lagrangienne lorsque le fibré vectoriel ${\displaystyle TL}$ est un sous-fibré lagrangien du fibré symplectique ${\displaystyle (T_{L}M,\omega )}$.

Exemples :

• Toute courbe d'une surface munie d'une forme d'aire en est une sous-variété lagrangienne.
• Soit ${\displaystyle L}$ une variété différentielle. Considérons la forme de Liouville ${\displaystyle \lambda }$ sur ${\displaystyle T^{*}L}$. Si ${\displaystyle \sigma }$ est une forme différentielle sur ${\displaystyle L}$, son graphe ${\displaystyle \Gamma ={\sigma (x),x\in L}}$, est une sous-variété lagrangienne de ${\displaystyle (T^{*}L,d\lambda )}$ ssi ${\displaystyle \sigma }$ est fermée.

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