Stratification (Monte-Carlo)

On souhaite estimer une quantité G, qui s'exprime sous la forme d'une intégrale :

${\displaystyle G=\int _{a}^{b}g(x)\,{\mbox{d}}x}$

On considère ici une intégration en dimension 1, mais on peut généraliser à une dimension quelconque.

Le principe de base des méthodes de Monte-Carlo est de voir l'intégrale précédente comme

${\displaystyle G=(b-a)\int _{a}^{b}g(x)f_{X}(x)\,{\mbox{d}}x=(b-a)\,\mathbb {E} (g(X))}$

où X est une variable aléatoire uniformément distribuée sur [a ; b] et ${\displaystyle f_{X}(\cdot )={\frac {1}{b-a}}}$ sa densité.

Si on dispose d'un échantillon ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})}$, indépendant et identiquement distribué (i.i.d.) selon ${\displaystyle {\mathcal {U}}([a;b])}$, on peut estimer G par :

${\displaystyle {\hat {g}}_{N}={\frac {(b-a)}{N}}\sum _{i=1}^{N}g(x_{i})}$

Il s'agit d'un estimateur de G non-biaisé (c'est-à-dire que ${\displaystyle \mathbb {E} ({\hat {g}}_{N})=G}$) et consistant (d'après la loi des grands nombres). Sa variance est :

${\displaystyle \sigma _{{\hat {g}}_{N}}^{2}={\frac {(b-a)^{2}\sigma _{g}^{2}}{N}}}$

avec ${\displaystyle \sigma _{g}^{2}}$ la variance de la variable aléatoire ${\displaystyle g(X)}$

${\displaystyle \sigma _{g}^{2}={\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}g^{2}(x)\,{\mbox{d}}x-\left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}g(x)\,{\mbox{d}}x\right)^{2}}$

L'erreur commise est alors une valeur aléatoire, suivant approximativement une loi normale centrée et de variance ${\textstyle \mathrm {Var} (g(X))={\frac {\sigma _{g}^{2}}{N}}}$.

L'idée principale de la stratification est de calculer l'intégrale sur une partition de l'intervalle [a ; b], qu'on précisera plus tard :

${\displaystyle G=\int _{a}^{b}g(x)\,{\mbox{d}}x=\sum _{k=0}^{m}\int _{a_{k}}^{a_{k+1}}g(x)\,{\mbox{d}}x,\quad a=a_{0}<a_{1}<\ldots <a_{m}<a_{m+1}=b.}$

Ainsi, l'intégrale se réécrit comme une somme de probabilités conditionnelles :

${\displaystyle G=(b-a)\,\mathbb {E} (g(X))=(b-a)\,\sum _{k=0}^{m}\mathbb {E} (g(X\mid X\in [a_{k},a_{k+1}]))\mathbb {P} (X\in [a_{k},a_{k+1}]).}$

En supposant que chaque loi conditionnelle de X soit simulable, et que chaque valeur ${\textstyle p_{k}=\mathbb {P} (X\in [a_{k},a_{k+1}])}$ soit connue, on peut donc calculer chaque sous-intégrale par une méthode de Monte-Carlo à N_k tirages, soit :

${\displaystyle \forall k\in \{0;m\},G_{k}=\mathbb {E} (g(X\mid X\in [a_{k},a_{k+1}]))\approx {\widehat {G_{k}}}={\frac {1}{N_{k}}}\sum _{j=0}^{N_{k}}g(X_{j}^{(i)}).}$

On a ainsi une erreur égale à

${\displaystyle e=G-\sum _{k=0}^{m}p_{k}{\widehat {G_{k}}}=\sum _{k=0}^{m}p_{k}(G_{k}-{\widehat {G_{k}}}).}$

Pour de grands tirages, chaque terme de l'erreur peut être approchée par une loi normale centrée. En observant que :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Var} (g(X)\mid X\in [a_{k},a_{k+1}])&=\mathbb {E} \left(\left[g(X)-\mathbb {E} \left(g(X)\mid X\in [a_{k},a_{k+1}]\right)\right]^{2}\mid X\in [a_{k},a_{k+1}]\right)\\&={\frac {1}{p_{k}}}\mathbb {E} \left(\left[g(X)-\mathbb {E} \left(g(X)\mid X\in [a_{k},a_{k+1}]\right)\right]^{2}1\!\!1_{[a_{k},a_{k+1}]}(X)\right)\\&={\frac {1}{p_{k}}}\mathbb {E} \left[g(X)^{2}1\!\!1_{[a_{k},a_{k+1}]}(X)\right]-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\mathbb {E} \left[g(X)1\!\!1_{[a_{k},a_{k+1}]}(X)\right]^{2},\end{aligned}}}$

on peut en déduire que la variance de l'erreur approche ${\textstyle \sum _{k=0}^{m}{\frac {p_{k}^{2}\sigma _{k}^{2}}{N_{k}}}}$.

Il suffit de vérifier qu'on a bien l'inégalité ${\displaystyle \mathrm {Var} (g(X))\geqslant \mathrm {Var} ({\widehat {G}})}$ pour conclure à l'efficacité de la technique de réduction de la variance.

L'objectif est de réduire le nombre de tirages ${\displaystyle N=N_{0}+\ldots +N_{m}}$.

Une méthode simple est la stratification uniforme, réalisée en s'assurant que ${\displaystyle p_{0}=p_{1}=\ldots =p_{m}}$.

On peut également chercher à optimiser la stratification en minimisant la variance conditionnelle. Une étude de la variance montre qu'elle atteint son minimum pour

${\displaystyle \forall k\in \{0;m\},N_{k}=N{\frac {p_{k}\sigma _{k}}{\sum _{l=0}^{m}p_{l}\sigma _{l}}}}$

soit un minimum égal à ${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{k=0}^{m}p_{k}^{2}\sigma _{k}^{2}{\frac {\sum _{l=0}^{m}p_{l}\sigma _{l}}{np_{k}\sigma _{k}}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{k=0}^{m}p_{k}\sigma _{k}\right)^{2}}$

• Méthode de Monte-Carlo

• (en) Paul Glasserman, Monte-Carlo Methods in Financial Engineering, Springer, 2004 (lire en ligne [PDF]), « 4.3: Stratified Sampling »

Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?

• Portail des probabilités et de la statistique