Relation de dispersion

Onde monochromatique de célérité c dans un milieu non dispersif

Un milieu non dispersif est caractérisé par un indice ${\displaystyle n}$ indépendant de la pulsation. La relation de dispersion s'écrit$${\displaystyle \omega ={\frac {c}{n}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert .}$$avec ${\displaystyle {\vec {\textbf {k}}}}$ le vecteur d'onde. La vitesse de phase est alors constante, ${\textstyle V_{\varphi }={\dfrac {\omega }{\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}={\dfrac {c}{n}}}$, et est égale à la vitesse de groupe :$${\displaystyle V_{g}={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}\omega ={\dfrac {c}{n}}.}$$

Onde monochromatique de célérité c dans un milieu dispersif

Dans un milieu dispersif, l'indice optique ${\displaystyle n}$ dépend de la pulsation ${\displaystyle \omega }$. La relation de dispersion devient$${\displaystyle \omega ={\frac {c}{n(\omega )}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }$$avec ${\displaystyle {\vec {\textbf {k}}}}$ le vecteur d'onde. La vitesse de phase dépend alors explicitement de la pulsation, soit :$${\displaystyle V_{\varphi }={\dfrac {\omega }{\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}={\dfrac {c}{n(\omega )}}}$$La vitesse de groupe n'est en général plus égale à la vitesse de phase, mais lui est reliée par la relation de Rayleigh :$${\displaystyle V_{g}={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}\omega ={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}(\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert V_{\varphi })=V_{\varphi }+\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}V_{\varphi }}$$

Particule non relativiste de masse m

En notant : ${\displaystyle p=||{\vec {p}}||}$, la relation de dispersion s'écrit :

${\displaystyle E\ =\ {\frac {p^{2}}{2m}}}$

Particule relativiste de masse m

La relation d'Einstein^[1],[2],[3] est la relation de dispersion relativiste^[4],[5] obtenue à partir du carré la norme du quadrivecteur énergie-quantité de mouvement^[6].

Elle est donnée par :

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$,

d'où, pour une particule de masse ${\displaystyle m}$ non nulle :

${\displaystyle E\ =\ {\sqrt {p^{2}\,c^{2}\ +\ m^{2}\,c^{4}\ }}}$

Particule relativiste de masse nulle

${\displaystyle E\ =\ p\,c}$