Subdivision d'un polygone

Le nombre de subdivisions d'un polygone à ${\displaystyle n+2}$ côtés est donné par le ${\displaystyle n}$-ème nombre de Schröder-Hipparque.

Le nombre de subdivisions d'un polygones à ${\displaystyle n+2}$ côtés en ${\displaystyle k}$ parts est donné par la formule ${\displaystyle {\frac {1}{n}}{n \choose k}{n+k \choose n+1}}$.

Ces nombres s'interprètent également comme le nombre de ${\displaystyle k}$-faces de l'associaèdre ${\displaystyle K_{n-1}}$. On obtient alors le triangle ci-dessous (suite A033282 de l'OEIS) :

   k = 1    2    3    4    5
n
1      1                               1
2      1    2                          3
3      1    5    5                    11
4      1    9   21   14               45
5      1   14   56   84   42         197

Des subdivisions de polygones sont dites équivalentes si elles peuvent s'obtenir par réflexion ou rotation l'une de l'autre.

Ainsi pour ${\displaystyle n=3,4,5,6,7,8...}$ il existe ${\displaystyle 1,2,3,9,20,75...}$ subdivisions non équivalentes (suite A001004 de l'OEIS).

Parmi elles certaines sont chirales (${\displaystyle 2,15,47...}$ subdivisions chirales pour ${\displaystyle n=6,7,8...}$ côtés). Le nombre de subdivisions non équivalentes par rotation seulement vaut donc ${\displaystyle 1,2,3,11,29,122...}$ (suite A003455 de l'OEIS).

• Portail des mathématiques