Suite d'Alcuin

Le problème 12 du livre intitulé Propositiones ad acuendos iuvenes (« Problèmes pour aiguiser les jeunes ») attribué au clerc et savant anglais Alcuin, qui a séjourné pendant plusieurs années à la cour de Charlemagne. Voici son énoncé :

Un père en mourant laisse en héritage à ses trois fils trente vases de verre, dont dix pleins d’huile, dix remplis d’huile à moitié et dix vides. Que celui qui le peut fasse le partage de sorte que chacun des fils ait une quantité égale de vases et d’huile !^[1]

En latin : XII. Propositio de quodam patrefamilias et tribus filius eius : Quidam paterfamilias moriens dimisit haereditatem tribus filiis suis, XXX ampullas uitreas, quarum decem fuerunt plenae oleo. Aliae decem dimidiae. Tertiae decem uacuae. Diuidat, qui potest, oleum et ampullas ut unicuique eorum de tribus filiis aequaliter obueniat tam de uitro, quam de oleo.^[2]

Dans le cas général, on a ${\displaystyle 3n}$ récipients, dont ${\displaystyle n}$ pleins, ${\displaystyle n}$ emplis à moitié et ${\displaystyle n}$ vides qu’on veut répartir équitablement (quant aux contenants et aux contenus) entre trois frères.

On peut montrer^[3] que chaque solution ${\displaystyle (a,b,c)}$ du système ci-dessus conduit à une répartition des vases entre les 3 frères conforme à la demande  :

- au premier frère on donne ${\displaystyle a}$ vases pleins, ${\displaystyle n-2a}$ vases à moitié pleins et ${\displaystyle a}$ vases vides (il reçoit donc ${\displaystyle n}$ vases et le contenu de ${\displaystyle n/2}$ vases pleins).

- les deux distributions suivantes sont obtenues en changeant ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$, puis ${\displaystyle b}$ en ${\displaystyle c}$ ; les deux frères reçoivent également ${\displaystyle n}$ vases et le contenu de ${\displaystyle n/2}$ vases pleins.

On peut représenter une répartition par une matrice dont les lignes correspondent aux fils et les colonnes aux types de récipients (plein, empli à moitié, vide)^[3] : ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&n-2a&a\\b&n-2b&b\\c&n-2c&c\end{bmatrix}}}$, matrice dont les sommes des lignes et les sommes des colonnes sont égales à ${\displaystyle n}$.

Le nombre ${\displaystyle a_{n}}$ compte donc le nombre de distributions possibles répondant au problème des 30 vases d'Alcuin généralisé à l'ordre ${\displaystyle n}$.

L'appellation « suite d'Alcuin » a été donnée dans recueil de jeux mathématiques de D. Olivastro datant de 1993^[4].

Summarize Timeline Fact Check

Pour ${\displaystyle n}$ impair, ${\displaystyle a_{n}}$ est l'entier le plus proche de ${\displaystyle (n+3)^{2}/48}$ et pour ${\displaystyle n}$ pair, l'entier le plus proche de ${\displaystyle (n+6)^{2}/48}$^[5].

${\displaystyle a_{0}=a_{2}=1,a_{1}=0,a_{n}={\begin{cases}a_{n-3}+\left\lfloor n/4\right\rfloor +1&{\text{si }}n{\text{ est pair}}\\a_{n-3}&{\text{si }}n{\text{ est impair}}\end{cases}}}$.

Le nombre ${\displaystyle a_{n}}$ est le nombre de partitions de ${\displaystyle n}$ dont les sommants sont égaux à 2, 3 ou 4 (voir  A266755).

On en déduit la fonction génératrice :

${\displaystyle \sum _{n\geqslant 0}a_{n}x^{n}={\frac {1}{(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{4})}}=1+0x+x^{2}+x^{3}+2x^{4}+x^{5}+3x^{6}+\cdots }$^[5].