Table d'ombre

On s'appuiera sur la table d'un pseudo-Bède^[1] supposé être du XII^e siècle, décrite par Jean-Baptiste Delambre^[2].

On trouvera dans ce tableau :

• une première colonne définissant le champ des mois ;
• six colonnes correspondant aux champs des différentes heures ;
• pour chaque ligne, dans les colonnes des heures, les valeurs successives des longueurs d'ombre en lien avec les mois considérés.

les mois

Ici, ils sont donnés par deux pour simplifier la table. Leur regroupement suit grossièrement l'évolution de la déclinaison du Soleil dans l'année ; ainsi le milieu des mois Janvier et Décembre correspond à peu près aux ombres les plus longues du solstice d'hiver, le milieu de Juin et Juillet, lui correspond à l'ombre la plus courte au solstice d'été, quant aux équinoxes, vers le milieu de Mars et Septembre, ils sont plus grossièrement distribués dans les mois Mars et Octobre et Avril et Septembre. D'autres tables, par ailleurs, plus en liaison avec la course du Soleil donnent des « mois » zodiacaux.

les heures

Ce sont toujours des heures temporaires, les seules en usage « grand public » dans l'Antiquité et au Moyen Âge « jusqu'à l'époque où chaque ville et chaque village a eu son horloge à roues. ». Ici, les heures temporaires sont désignées de façon conventionnelle (de la deuxième heure solaire à la onzième avec origine au lever du Soleil), l'heure de midi correspondant à la sixième heure temporaire.

les longueurs d'ombre

Le « gnomon » est ici le corps humain ; chaque longueur d'ombre - sous-entendu sur un sol horizontal - est exprimée en valeurs arrondies de pieds, pieds de celui qui mesure la grandeur de son ombre^{[N 1]}. Ainsi chacun peut-il savoir l'heure sans matériel particulier. Le corps humain semble être la règle pour matérialiser un gnomon quelle que soit la table examinée.

Remarques :
« D'un mois au suivant, toutes les différences sont de deux pieds, à l'exception d'une seule probablement due à une faute d'impression corrigée [par Delambre] », qui souligne : « comme tout cela doit être exact. »
Ces différences de deux pieds se retrouvent aussi entre colonnes, à l'exception de celles concernant la colonne 1h et 11 h et la suivante.
Toujours d'après Delambre, « l'auteur de la table a oublié de marquer pour quelle latitude il a calculé ses ombres. »

En gnomonique, la longueur x de l'ombre d'un gnomon au cours de la journée est donnée à partir de la hauteur h du Soleil :

où Φ est la latitude, δ la déclinaison du Soleil et H l'angle horaire du Soleil exprimé en degrés (en gnomonique on compte H à raison de 15° par heure solaire vraie : midi = 0°, 13 h = 15°, 14 h = 30°, 11 h = -15°, 10 h = -30°, etc.) ; on constate ici que la hauteur du Soleil est tributaire de la latitude du lieu.
À midi, la formule se simplifie et on a :

La longueur de l'ombre x, elle est fonction de la longueur du gnomon L et de la hauteur du Soleil :

On peut, à partir de ces formules^[3], calculer la latitude approchée du lieu où s'applique la table : Tout d'abord, en prenant l'hypothèse que le rapport de la longueur du pied à la taille d'un individu est de 15 % (voir note 1) on a la longueur du gnomon L = 1 / 0,15 = 6,66 pieds, quel que soit l'individu.
- Aux solstices, à midi, en prenant une longueur d'ombre de 11 pieds pour l'hiver et de 1 pied pour l'été, avec une déclinaison de ± 24 °, valeur entière conventionnelle employée dans l'Antiquité, on trouverait :
Pour l'hiver : de [3] on tire h_1m = 33,18°, valeur qui reportée dans [2] donne Φ₁ = 32,8°.
Pour l'été... : de [3] on tire h_2m = 81,46°, valeur qui reportée dans [2] donne Φ₂ = 32,5°.
Ces valeurs calculées correspondent à une latitude nord-africaine inférieure à celle de Casablanca, 33,65° et de Carthage, 36,85° mais supérieure à celle d'Alexandrie, 31,2°.
- En prenant une latitude de 32,5° à priori, aux équinoxes (δ = 0), à midi, h_m = 57,5° d'où une longueur d'ombre de l'ordre de 4,25 pieds, ce qui ne correspond guère aux valeurs 5 et 7 de la table données pour les mois d'équinoxe.

À titre indicatif on peut construire une table d'ombre contemporaine en heures solaires vraies à partir de la formule [1]. On peut aussi retrouver les longueurs de l'ombre d'un gnomon en fonction des heures temporaires : On propose ici une méthode graphique simple qui s'appuie sur le tracé des cadrans solaires : Sur la figure d'un cadran solaire horizontal pour une latitude de 32,5°, à style droit et heures temporaires (contemporaines)^[4] on peut constater :

• d'une part que le regroupement en mois de la table est judicieux (J-D, F-N, M-O, A-S, M-A, J-J) dans un souci de simplification mais avec un intervalle de variation plus important vers les mois d'équinoxes ;
• d'autre part que la mesure des longueurs d'ombre est immédiate en se donnant une longueur de pied choisie : ici la longueur du pied est donnée à partir de la mesure de la longueur de l'ombre entre A, pied du gnomon et le point maximum de l'ombre à midi au solstice d'hiver (11 pieds)^{[N 2]}. Ces mesures peuvent être rapportées dans le tableau précédent. Comparées aux valeurs initiales données par la table, on peut constater des écarts très disparates non exploitables entre les deux types d'informations.

• Table pour une latitude de 32,5°
• 
  Cadran à heures temporaires.
• 
  Table de comparaison des longueurs d'ombre (en rouge, valeurs "vraies").

D'autres méthodes algébriques permettent de calculer les longueurs de l'ombre d'un gnomon en fonction des heures temporaires ; elles ne sont pas proposées ici^[5].

En conclusion, on insistera encore sur le fait que ces tables étaient très approximatives dans leurs données. Elles ne permettaient donc pas de connaitre le temps avec exactitude. Dans un usage quotidien, les communautés s'accommodaient de ces imprécisions transparentes qui n'entravaient en rien leurs règles de vie.