Tapis de Sierpiński

En notant ${\displaystyle x}$ la longueur du côté du carré et ${\displaystyle n}$ l'ordre de la construction, la formule suivante donne l'aire du tapis :

${\displaystyle \left({\frac {x}{3^{n}}}\right)^{2}\times 8^{n}=x^{2}\times \left({\frac {8}{9}}\right)^{n}}$

Par exemple, un carré de 100 mètres de côté à l'ordre 2 donne un tapis d'aire

${\displaystyle \left({\frac {100}{3^{2}}}\right)^{2}\times 8^{2}={\frac {100^{2}}{9^{2}}}\times 64={\frac {640000}{81}}\approx 7901,23}$ m².

Plus l'ordre augmente, plus la surface diminue et tends vers zéro à l'infini.

• Étapes de construction du tapis de Sierpiński
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  ordre 0
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  ordre 1
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  ordre 2
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  ordre 3
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  ordre 4
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  ordre 5
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  ordre 6

On peut construire l'image du tapis de Sierpiński par une inversion dont le centre est l'isobarycentre de la fractale. On obtient un résultat semblable au suivant pour la cinquième itération :

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  Image par une inversion du tapis de Sierpiński.
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  Détails de l'image précédente.