Constante de temps

En physique, une constante de temps est une grandeur homogène à un temps caractérisant la rapidité de l'évolution d'un système^[1].

Définition

Soit un système physique obéissant à une équation différentielle linéaire d'ordre 1 telle que^[2] :

\tau \,{\mathrm {d} s \over \mathrm {d} t}(t)+s(t)=K\cdot e(t)

avec :

$e$ le signal d'entrée ; fonction du temps ;
$K$ le gain statique du système ; constante ;
$s$ le signal de sortie ; fonction du temps ;
$t$ le temps.

La grandeur

\tau

, constante et homogène à un temps, est appelée constante de temps du système^[2]^,^[3].

Un tel système est appelé « système linéaire du premier ordre » ou « système linéaire d'ordre 1 »^[2].

La constante de temps $\tau$ est l'inverse de la pulsation de coupure $\omega _{c}$ :

\tau ={1 \over \omega _{c}}

Elle est liée à la fréquence de coupure $f_{c}$ par :

f_{c}={\omega _{c} \over 2\pi }={1 \over 2\pi \tau }

Détermination graphique

$Signal d'entrée. Échelon avec E 1 = 0 {displaystyle E_{1}=0} et E 2 = 1 {displaystyle E_{2}=1} .$
Signal d'entrée. Échelon avec $E_{1}=0$ et $E_{2}=1$ .
Signal de sortie. En bleu, réponse du système avec $A=0$ et $C=100$ . En rouge, tangente à la réponse au point d'origine du temps.

Un système linéaire de premier ordre est soumis en entrée à un échelon tel que, en fonction du temps $t$ :

e(t)=\left\{{\begin{matrix}E_{1}&{\text{si}}&t<0\\E_{2}&{\text{si}}&t\geq 0\end{matrix}}\right.

avec $E_{1}$ et $E_{2}$ des constantes. Le système répond en sortie par un signal de la forme^[2]^,^[3] :

s(t)=\left\{{\begin{matrix}A&{\text{si}}&t<0\\A+B\cdot \left(1-\mathrm {e} ^{-t/\tau }\right)=C+D\cdot \mathrm {e} ^{-t/\tau }&{\text{si}}&t\geq 0\end{matrix}}\right.

avec :

$A$ la valeur du signal de sortie pour $t<0$ ; avec $A=K\cdot E_{1}$ ;
$B$ ou $D$ l'amplitude du signal de sortie ; avec $B=-D=C-A$ ;
$C$ la valeur du signal de sortie pour $t=+\infty$ ; avec $C=K\cdot E_{2}$ .

Pour $t\geq 0$ , la dérivée du signal de sortie vaut $s'(t)={B \over \tau }\cdot \mathrm {e} ^{-t/\tau }$ ; à l'origine du temps on a $s'(0)={B \over \tau }$ ^[2]. La tangente au signal de sortie en ce point a pour équation $p(t)=s'(0)\cdot t+A$ ; en $\tau$ on a $p(\tau )=B+A=C$ . Graphiquement, la constante de temps $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection entre la tangente au point d'origine du repère $(t=0\,;\,A)$ et la droite d'équation $y=C$ ^[4].

Au temps $\tau$ , le signal de sortie atteint $s(\tau )=A+B\cdot \left(1-\mathrm {e} ^{-1}\right)\approx A+0{,}63\,B$ , soit environ 63 % de l'amplitude $B$ depuis $A$ . On a aussi $s(\tau )=C-B\cdot \mathrm {e} ^{-1}\approx C-0{,}37\,B$ , il reste alors environ 37 % de $B$ à parcourir jusqu'à $C$ . Graphiquement, la constante de temps $\tau$ est l'abscisse du point d'ordonnée $A+0{,}63\,B=C-0{,}37\,B$ ^[4].

La demi-vie $t_{50}\approx 0{,}7\,\tau$ est l'abscisse du point auquel le signal atteint 50 % de son amplitude, soit le point d'ordonnée $A+0{,}5\,B=C-0{,}5\,B$ .

Le temps de montée (ou de descente selon le contexte) du signal est la durée $t_{90}-t_{10}\approx 2{,}2\,\tau$ , où $t_{10}$ est l'abscisse du point auquel le signal atteint 10 % de son amplitude, soit le point d'ordonnée $A+0{,}1\,B=C-0{,}9\,B$ , et $t_{90}$ l'abscisse du point auquel le signal atteint 90 % de son amplitude, soit le point d'ordonnée $A+0{,}9\,B=C-0{,}1\,B$ .

Le temps de réponse à 95 % correspond à une durée de $3\,\tau$ ^[2]. La sortie atteint 99,3 % de sa valeur finale à $5\,\tau$ ^[4].

La valeur $C$ est asymptotique, elle n'est atteinte qu'au bout d'un temps infini.

Applications

Circuits électriques du premier ordre

Les réponses en tension et en courant d'un circuit électrique linéaire du premier ordre sont caractérisées par la constante de temps^[1] :

$\tau =RC$ dans un circuit RC ;
$\tau ={L \over R}$ dans un circuit RL ;
$\tau ={\sqrt {LC}}$ dans un circuit LC ;

avec $R$ la résistance, $C$ la capacité et $L$ l'inductance.

Exemple - réponse d'un circuit RC à un échelon^[5]^,^[4].

Dans un circuit RC en série, tel que décrit dans la figure ci-contre, on a :

V_{R}=RI

I=C\,{\mathrm {d} V_{C} \over \mathrm {d} t}

V_{\text{in}}=V_{R}+V_{C}

avec :

$I$ l'intensité du courant circulant dans le circuit ;
$V_{\text{in}}$ la tension aux bornes du circuit ;
$V_{R}$ la tension aux bornes de la résistance ;
$V_{C}$ la tension aux bornes du condensateur.

On a donc :

RC\,{\mathrm {d} V_{C} \over \mathrm {d} t}+V_{C}=V_{\text{in}}

On considère la charge du condensateur, on suppose que la tension d'entrée est un échelon tel que :

V_{\text{in}}(t)=\left\{{\begin{matrix}0&{\text{si}}&t<0\\V_{\infty }&{\text{si}}&t\geq 0\end{matrix}}\right.

La tension du condensateur lors de la charge varie selon :

V_{c}(t)=\left\{{\begin{matrix}0&{\text{si}}&t<0\\V_{\infty }\cdot \left(1-\mathrm {e} ^{-t/\tau }\right)&{\text{si}}&t\geq 0\end{matrix}}\right.

On considère la décharge du condensateur, on suppose que la tension d'entrée est un échelon tel que :

V_{\text{in}}(t)=\left\{{\begin{matrix}V_{0}&{\text{si}}&t<0\\0&{\text{si}}&t\geq 0\end{matrix}}\right.

La tension du condensateur lors de la décharge varie selon :

V_{c}(t)=\left\{{\begin{matrix}V_{0}&{\text{si}}&t<0\\V_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-t/\tau }&{\text{si}}&t\geq 0\end{matrix}}\right.

La constante de temps

\tau ={\sqrt {LC}}

représente le temps nécessaire pour que le condensateur se charge à 63 % de sa tension maximale à travers la résistance ou se décharge à 37 % de sa tension initiale.

Courbe de charge d'un condensateur.
Courbe de décharge d'un condensateur.

En biologie

En biologie, la membrane plasmique entourant une cellule vivante se situe entre deux milieux électrolytiques (le milieux intracellulaire ou cytoplasme, et le milieu extracellulaire) qui sont de très bons conducteurs électriques. Ils contiennent, entre autres, des cations Na⁺, K⁺ et Ca²⁺ et des anions Cl^-. Les différences de concentrations en ions entre les milieux intra et extra cellulaires, maintenues pas la pompe sodium-potassium (ou Na⁺/K⁺ ATPase), génèrent un potentiel électrochimique entre les deux milieux, entre −40 et −90 mV par exemple pour le potentiel de repos des neurones^[6]. La membrane est formée de deux couches lipidiques imperméables à tous les ions ; elle constitue ainsi une sorte de condensateur électrique de capacité $C_{m}$ d'environ 1 à 10 µF cm⁻²^[7]. La membrane laisse cependant passer certains ions (Na⁺, K⁺ et Cl^-) par des canaux ioniques ; elle possède ainsi une résistance $R_{m}$ d'environ 1 000 Ω cm²^[7]^,^[6]^,^[8].

Une membrane cellulaire peut donc être assimilée à un circuit électrique associant un condensateur et une résistance en parallèle, c'est-à-dire un circuit RC. Ce circuit a une constante de temps^[7]^,^[6]^,^[8] :

\tau =R_{m}C_{m}

Elle se situe entre 0,06 et 92 ms selon les tissus^[7].

Température d'un corps soudainement immergé dans un fluide

Un objet (par exemple une bille, un thermomètre) est soudainement plongé dans un fluide (eau, huile, air…) à température constante. La température de l'objet évolue selon l'équation^[9] :

\rho Vc\,{\mathrm {d} T \over \mathrm {d} t}=-hS\left(T-T_{\infty }\right)

avec :

$c$ la capacité thermique massique de l'objet ;
$h$ le coefficient de convection thermique du fluide ;
$S$ la surface de l'objet en contact avec le fluide ;
$t$ le temps ;
$T$ la température de l'objet ; fonction du temps ; supposée constamment homogène dans l'objet ; à $t=0$ on a $T_{\text{i}}$ ;
$T_{\infty }$ la température du fluide ; supposée constante ;
$V$ le volume de l'objet ;
$\rho$ la masse volumique de l'objet.

On peut réécrire :

{\rho Vc \over hS}\,{\mathrm {d} T \over \mathrm {d} t}+T=T_{\infty }

La constante de temps thermique de ce système vaut^[9] :

\tau ={\rho Vc \over hS}

On a^[9] :

{T-T_{\infty } \over T_{\text{i}}-T_{\infty }}=\mathrm {e} ^{-t/\tau }

Exemple^[9]: Soit une bille métallique de diamètre $D$ = 1 cm, de masse volumique $\rho$ = 7 832 kg m⁻³, de capacité thermique $c$ = 434 J K⁻¹ kg⁻¹ et de température initiale $T_{\text{i}}$ = 15 °C. On a ${V \over S}={{\pi \over 6}D^{3} \over \pi D^{2}}={1 \over 6}D$ .; Cette bille est plongée dans un courant d'air chaud à $T_{\infty }$ = 60 °C ayant un coefficient de convection thermique $h$ = 20 W K⁻¹ m⁻².; La constante de temps vaut $\tau$ = 283,3 s et la fréquence de coupure $\omega _{c}$ = 3,53 × 10⁻³ s⁻¹.

Constante de temps

Définition

Détermination graphique

Applications

Circuits électriques du premier ordre

En biologie

Température d'un corps soudainement immergé dans un fluide

Notes et références

Notes

Bibliographie

Articles connexes

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