Tests de l'énergie et de la quantité de mouvement relativistes

En mécanique newtonienne, l'énergie cinétique et la quantité de mouvement sont calculées à l'aide de

${\displaystyle E_{k}={\tfrac {1}{2}}mv^{2},\quad p=mv.\,}$

La relativité restreinte postule que la vitesse de la lumière dans le vide est constante et ultime, peu importe le référentiel inertiel. Pour cette raison, la relation relativiste énergie–quantité de mouvement est donnée par :

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2}\,}$,

où l'énergie relativiste ${\displaystyle E}$, l'énergie cinétique ${\displaystyle E_{k}}$ et la quantité de mouvement ${\displaystyle p}$ d'une particule massive sont données par :

${\displaystyle E=\gamma mc^{2},\quad E_{k}=(\gamma -1)mc^{2},\quad p=\gamma mv}$,

où ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$.

Donc, l'énergie et la quantité de mouvement relativistes augmentent de façon notable avec la vitesse d'une particule massive, qui ne peut excéder la vitesse de la lumière.

Par ailleurs, si la vitesse est nulle, alors ${\displaystyle \gamma =1}$ et ${\displaystyle E=1\times mc^{2}}$. Cette énergie au repos est donc :

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$,

formule mieux connue sous la forme ${\displaystyle E=mc^{2}}$.

Les premières expériences pouvant déterminer si de telles relations sont vraies ont été conduites par Walter Kaufmann, Alfred Bucherer et Carl Neumann entre 1901 et 1915. Elles ont principalement portées sur la déflexion de rayons bêta soumis à un champ magnétique dans le but de déterminer le rapport masse sur charge de l'électron. En effet, les scientifiques savaient que la charge électrique est indépendante de la vitesse de cette particule ; toute variation pourrait alors être attribuée à une modification de la quantité de mouvement ou à la masse (qui était connue à cette époque comme la masse électromagnétique (en) transverse ${\displaystyle m_{T}=m\gamma }$, équivalente à la masse relativiste ${\displaystyle M}$ mentionnée plus haut). Ces tests servent à valider l'énergie et la quantité de mouvement relativistes, puisque la relation suivante s'applique :

${\displaystyle {\frac {M}{m}}={\frac {p}{mv}}={\frac {E}{mc^{2}}}=\gamma .}$

Les expérimentateurs ont observé des électrons se déplaçant à une vitesse entre 0,25c et 0,75c. Ils ont établi que leur quantité de mouvement augmentait en accord avec les prédictions de la relativité restreinte, ce qui a été considéré comme une confirmation de la validité de la théorie. La précision atteinte ne pouvait cependant pas éliminer d'autre théories, telle celle proposée par Max Abraham^[1],[2].

En 1915, Arnold Sommerfeld détermine la structure fine du spectre de l'hydrogène en utilisant les formules relativistes de l'énergie et de la quantité de mouvement (dans le contexte de la théorie Bohr–Sommerfeld). Par la suite, Karl Glitscher (en) remplace les formules relativistes par celles d'Abraham, ce qui invalide sa théorie^[3].

En 1940, Rogers et al. font défléchir des électrons en s'inspirant des expériences de Kaufmann–Bucherer–Neumann, dont ils ont amélioré plusieurs aspects. Ils ont mesuré la vitesse et le rapport masse à la charge électrique de particules bêta pour des vitesses allant jusqu'à 0,75c. La précision atteinte permet de confirmer les prédictions de la relativité restreinte à une erreur de moins de 1 %^[4]. Cette précision permet d'éliminer des théories en compétition avec la relativité restreinte.

Une mesure plus précise de la déflexion d'électrons a été réalisée par Meyer et al. en 1963. Ils ont observé des électrons se déplaçant à une vitesse comprise entre 0,987c et 0,9c, électrons défléchis dans un champ magnétique statique homogène où p a été mesuré et dans un champ électrique statique cylindrique où ${\displaystyle p^{2}/(m\gamma )}$ a été mesuré. Ils ont confirmé les prédictions de la relativité restreinte avec une erreur inférieure à ∼0,000 37^[5].

Également, Grove et Fox ont obtenu en 1953 des protons se déplaçant à ∼0,7c. Ils ont déterminé la fréquence angulaire et le champ magnétique, ce qui leur a permis de calculer le rapport charge à la masse (et donc la quantité de mouvement) du proton. Ils ont validé l'expression relativiste de ce rapport à une précision de ∼0,000 6^[6].

Néanmoins, Zrelov et al. (1958) ont critiqué le manque d'information de l'expérience de Grove et Fox, mettant l'emphase sur la difficulté d'effectuer de telles mesures à cause du mouvement complexe des protons. Ils ont donc conduit une expérience plus élaborée où des protons se déplaçant à une vitesse moyenne de 0,8112c ont été observés. La quantité de mouvement a été calculée avec un fil de Litz et la vitesse a été évaluée grâce au rayonnement Tcherenkov. Ils ont confirmé les prédictions de la relativité restreinte à une précision inférieure à ∼0,004 1^[7].

Depuis les années 1930, la relativité restreinte est nécessaire pour concevoir des accélérateurs de particules. Même si la théorie a été confirmée par les expériences citées plus haut, c'était de façon indirecte puisque les expérimentateurs devaient tenir compte de plusieurs facteurs : courbes de déflexion, vitesse des particules et quantités de mouvement.

William Bertozzi, en 1962 et en 1964, mène une série d'expériences visant à déterminer les effets relativistes de façon directe. Il emploie un accélérateur d'électrons du MIT qui effectue cinq jets d'électrons d'énergies différentes entre 0,5 et 15 MeV. Chaque jet est créé à l'aide d'un générateur de Van de Graaff : les électrons voyagent sur 8,4 m jusqu'à ce qu'ils frappent un disque en aluminium. Le temps de vol de chaque jet est mesuré – la vitesse atteinte est en proche accord avec les prédictions de la relativité restreinte. Néanmoins, l'énergie cinétique est déterminée indirectement à l'aide de l'énergie dégagée par les champs d'accélération. Bertozzi mesure alors l'élévation de température causée par les collisions des électrons contre le disque. Il obtient des énergies cinétiques qui sont en accord à 10 % près des prédictions relativistes^[8],[9].

À cause de leur simplicité relative, que ce soit les calculs ou le matériel nécessaire, plusieurs expériences ont été réalisées en milieu universitaire. La masse, la vitesse, la quantité de mouvement et l'énergie d'électrons ont été mesurées de différentes façons dans le cadre de ces expériences, qui ont toutes confirmées les prédictions de la relativité restreinte^[10]. Ont été utilisés des particules bêtas, la diffusion Compton (où les électrons présentent de fortes caractéristiques relativistes) et l'annihilation électron-positron.

Particules bêtas Marvel et al.[10] 2011 Lund et al.[11] 2009 Luetzelschwab[12] 2003 Couch et al.[13] 1982 Geller et al.[14] 1972 Parker[15] 1972 Bartlett et al.[16] 1965

Recul d'électrons (diffusion Compton) Jolivette et al.[17] 1994 Hoffman[18] 1989 Egelstaff et al.[19] 1981 Higbie[20] 1974

Annihilation électron-positron Dryzek et al.[21] 2006