Théorème de Rouché

Soit ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ un ouvert simplement connexe, soient f et g deux fonctions méromorphes sur ${\displaystyle U}$ avec un ensemble fini ${\displaystyle Z}$ de zéros et ${\displaystyle P}$ de pôles. Soit γ un lacet simple à image dans ${\displaystyle U-P}$ formant le bord ${\displaystyle \partial K}$ d'un compact ${\displaystyle K}$. Si

${\displaystyle |f(z)-g(z)|<|g(z)|}$ pour tout point z de γ,

alors

${\displaystyle Z_{f}-P_{f}=Z_{g}-P_{g}}$,

où ${\displaystyle Z_{f}}$ et ${\displaystyle P_{f}}$ sont respectivement le nombre de zéros et de pôles de ${\displaystyle f}$ (en tenant compte de leur multiplicité) contenus dans ${\displaystyle K}$.

Considérons les deux fonctions polynomiales f et g définies par :

${\displaystyle f(z)=z^{8}-5z^{3}+z-2,\quad g(z)=-5z^{3}}$

et considérons pour lacet le cercle ${\displaystyle C(0,1):=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}}$. On vérifie que sur ce lacet :

${\displaystyle |f(z)-g(z)|=|z^{8}+z-2|\leq |z|^{8}+|z|+2=4}$

et

${\displaystyle |g(z)|=|-5z^{3}|=5}$.

On peut donc appliquer le théorème de Rouché :

${\displaystyle Z_{f}=Z_{g}}$

puisque f et g n'ont pas de pôle. Par ailleurs, g a un zéro triple à l'origine, ce qui nous indique donc que la fonction f admet trois zéros dans le disque ouvert ${\displaystyle D(0,1)}$.

Si ${\displaystyle |f(z)-g(z)|<|g(z)|}$ pour tout ${\displaystyle z\in \gamma }$, alors f et g ne s'annulent pas sur ${\displaystyle \gamma }$ (sinon l'inégalité stricte ne pourrait pas être vérifiée). Soit h la fonction méromorphe sur ${\displaystyle U}$, holomorphe et ne s'annulant pas sur ${\displaystyle \gamma }$ définie par :

${\displaystyle h={\frac {f}{g}}}$.

Pour tout point z de γ,

${\displaystyle |h(z)-1|={\frac {|f(z)-g(z)|}{|g(z)|}}<1}$.

L'image de ${\displaystyle \gamma }$ par ${\displaystyle h}$ est donc contenue dans le disque ouvert de rayon 1 et de centre 1 ${\displaystyle D(1,1)}$ et par conséquent elle ne tourne pas autour de l'origine. En appliquant le principe de l'argument on a donc :

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {h'(z)}{h(z)}}\mathrm {d} z=0}$.

D'autre part,

${\displaystyle {\frac {h'(z)}{h(z)}}={\frac {f'(z)}{f(z)}}-{\frac {g'(z)}{g(z)}}}$.

Par conséquent,

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {g'(z)}{g(z)}}\mathrm {d} z=0}$.

Finalement, en utilisant à nouveau le principe de l'argument, on obtient

${\displaystyle Z_{f}-P_{f}=Z_{g}-P_{g}}$.

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Soit un polynôme ${\displaystyle P}$ à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ et défini par :

${\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}}$

en supposant ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$. Soit ${\displaystyle R>0}$ suffisamment grand pour que pour tout ${\displaystyle z\in C(0,R)}$ (cercle de rayon R) on ait :

${\displaystyle |P(z)-a_{n}z^{n}|=|a_{0}+\cdots +a_{n-1}z^{n-1}|<|a_{n}z^{n}|}$

(par exemple ${\displaystyle R=1+{\frac {\max(|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|)}{|a_{n}|}}}$ convient).

Étant donné que ${\displaystyle a_{n}z^{n}}$ admet un zéro d'ordre ${\displaystyle n}$ à l'origine, ${\displaystyle P}$ doit admettre ${\displaystyle n}$ zéros dans le disque ouvert ${\displaystyle D(0,R)}$ par application du théorème de Rouché.