Théorie des groupes

La théorie des groupes est très utilisée en chimie. Elle sert par exemple à simplifier l'écriture de l'hamiltonien d'une molécule en exploitant ses symétries. Elle permet de calculer les orbitales moléculaires comme somme d'orbitales atomiques et de prédire le type de déformation que va subir une molécule en spectroscopie infrarouge (IR).

En spectroscopie, elle permet de savoir si une transition sera visible dans un spectre infrarouge et/ou dans un spectre Raman, selon la symétrie de sa déformation.

Chaque molécule possède une symétrie qui peut être déterminée à l'aide du synoptique dans la boîte déroulante ci-dessous. Une fois le groupe ponctuel de symétrie trouvé, on utilise la table de caractères correspondante^[2].

Pour déterminer le groupe de symétrie d'une molécule

Les groupes donnent lieu à des tables de représentation irréductibles. Par exemple, pour l'eau, les symétries se combinent selon :

Table ${\displaystyle C_{2v}}$

${\displaystyle C_{2v}}$	E	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle \sigma _{v}(xz)}$	${\displaystyle \sigma '_{v}(yz)}$
E	E	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle \sigma _{v}}$	${\displaystyle \sigma '_{v}}$
${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle C_{2}}$	E	${\displaystyle \sigma '_{v}}$	${\displaystyle \sigma _{v}}$
${\displaystyle \sigma _{v}}$	${\displaystyle \sigma _{v}}$	${\displaystyle \sigma '_{v}}$	E	${\displaystyle C_{2}}$
${\displaystyle \sigma '_{v}}$	${\displaystyle \sigma '_{v}}$	${\displaystyle \sigma _{v}}$	${\displaystyle C_{2}}$	E

et la table de caractère liée :

Table ${\displaystyle C_{2v}}$

${\displaystyle C_{2v}}$	E	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle \sigma _{v}(xz)}$	${\displaystyle \sigma '_{v}(yz)}$
A1	1	1	1	1	z	x2, y2, z2
A2	1	1	-1	-1	Rz	xy
B1	1	-1	1	-1	x, Ry	xz
B2	1	-1	-1	1	y, Rx	yz

Chaque mode de vibration moléculaire peut être ramené à une combinaison des représentations irréductibles dont les caractéristiques permettent ensuite d'établir s'ils relèvent de la spectroscopie Raman ou infrarouge.

La théorie des groupes de Lie est aussi très utilisée en physique théorique, notamment pour le développement des théories de jauge.

Dans les structures élémentaires de la parenté l’ethnologue Claude Lévi-Strauss, aidé du mathématicien André Weil, dégage le concept de structure élémentaire de parenté en utilisant la notion de groupe (en particulier le groupe de Klein)^[3]. Dans La Structure des mythes, Lévi-Strauss réutilisera les groupes de Klein pour établir la « formule canonique du mythe ».

• (en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1996, 499 p. (ISBN 978-0-387-94461-6, lire en ligne)
• (en) Anthony Zee, Group Theory in a Nutshell for Physicists, Princeton University Press, 29 mars 2016, 608 p. (ISBN 0691162697 et 978-0691162690)

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• Évariste Galois
• Sarah B. Hart, mathématicienne spécialisée dans cette discipline

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