Thomas Dasquet naît le 3 juin 1994 à Argenteuil, dans la banlieue de Paris et y a grandi. Jeune, il a joué au football pour le Racing 92 avant de rejoindre Troyes en 2010. Il a régulièrement joué pour l’équipe réserve de Troyes en CFA2 (cinquième division du football français), aidant les équipes à obtenir la promotion en Championnat de France Amateur en 2013-14. Vers la fin de la saison 2014–15 de Ligue 2, alors que l’équipe première de Troyes était assurée de monter en Ligue 1, faisait partie des nombreux réservistes appelés pour leurs débuts en équipe première. Il a été inclus dans le onze de départ pour le match contre Nancy le 24 avril. Après 35 minutes, il a mis un adversaire au sol ; Lui-même pensait qu’il risquait de recevoir un carton jaune, bien qu’il ait déclaré que la faute avait été involontaire, et qu’un défenseur couvrait la porte, mais l’arbitre l’a expulsé. Il a manqué le match suivant pour suspension, mais a joué les quatre derniers matchs de Ligue 2 de la saison, tous sauf un en tant que titulaire.
À la fin de la saison, il ne s’est pas vu offrir de contrat professionnel et a donc décidé de chercher un autre club. Les essais avec le club belge OH Leuven et Fréjus du Championnat National n’ont rien donné, il est donc retourné à Troyes et a accepté leur offre de contrat amateur. Il a joué la saison 2015–16 en tant que capitaine de l’équipe CFA avant de rejoindre Le Mans de la CFA2, avec laquelle il espérait repartir à zéro. Il a été l’un des cinq joueurs à bénéficier de trois promotions consécutives et à commencer la saison 2019–20 avec Le Mans en Ligue 2.
Le 6 août 2020, il est parti à l’étranger pour la première fois de sa carrière, signant un contrat de deux ans avec le club bulgare Levski Sofia.