Théorème binomial d'Abel

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le théorème binomial d'Abel, dû à Niels Henrik Abel, est l'identité polynomiale suivante^[1]^,^[2]^,^[3], valide pour tout entier naturel $n$ :

\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x-kz)^{k-1}(y+kz)^{n-k}={\frac {(x+y)^{n}}{x}}

.

Quand on l'évalue en $z=0$ , on retrouve la formule du binôme de Newton, et pour $x=-y$ , on retrouve que la différence finie $\Delta _{z}^{n}[y^{n-1}]$ est nulle^[1].

La variante
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+k)^{k-1}(y-k)^{n-k}={\frac {(x+y)^{n}}{x}}$

est le cas particulier $z=-1$ du théorème.

Réciproquement, quand on remplace $x$ par $-{\frac {x}{z}}$ et $y$ par $-{\frac {y}{z}}$ , on retrouve le cas général.
En remplaçant $y$ par $y+n$ , on déduit de cette première variante^[4] :
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+k)^{k-1}(y+n-k)^{n-k}={\frac {(x+y+n)^{n}}{x}}$ .

Réciproquement, la première variante se déduit de la deuxième en remplaçant $y$ par $y-n$ .

On peut de même remplacer $y$ par $y-nz$ dans le théorème.
On peut bien sûr remplacer $z$ par $-z$ dans le théorème. Ceci, précédé d'un remplacement de $y$ par $y-nz$ , donne comme théorème équivalent^[5] :
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+kz)^{k-1}\left(y+(n-k)z\right)^{n-k}={\frac {(x+y+nz)^{n}}{x}}$ .
En effectuant le changement d'indice $j=n-k$ dans le théorème et ses variantes, on en trouve de nouvelles. Par exemple, la deuxième variante ci-dessus devient^[6] :
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+n-k)^{n-k-1}(y+k)^{k}={\frac {(x+y+n)^{n}}{x}}$ .
Il est également possible de déduire la variante suivante^[7] :
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+k)^{k-1}(n-k+y)^{n-k-1}={\frac {x+y}{xy}}(x+y+n)^{n-1}$ .

Exemple

Vérifions la première variante dans le cas $n=2$ .

{\begin{aligned}\quad {\binom {2}{0}}x^{-1}y^{2}+{\binom {2}{1}}(x+1)^{0}(y-1)^{1}+{\binom {2}{2}}(x+2)^{1}(y-2)^{0}&={\frac {y^{2}}{x}}+2(y-1)+x+2\\&={\frac {y^{2}}{x}}+2y+x\\&={\frac {(x+y)^{2}}{x}}.\end{aligned}}

Considérons les polynômes (à coefficients dans $\mathbb {Z} [X]$ )

P_{n}(Y):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}X(X+k)^{k-1}(Y-k)^{n-k}\quad {\text{et}}\quad Q_{n}(Y):=(X+Y)^{n}

et démontrons, par récurrence sur $n$ , que $P_{n}=Q_{n}$ pour tout $n\in \mathbb {N}$ .

On a bien $P_{0}=1=Q_{0}$ .
Supposons que pour un certain $n>0$ , $P_{n-1}=Q_{n-1}$ . Alors, les polynômes dérivés de $P_{n}$ et $Q_{n}$ sont égaux car $P'_{n}=nP_{n-1}=nQ_{n-1}=Q'_{n}$ .Par ailleurs, $P_{n}(-X)=X\Delta _{1}^{n}[X^{n-1}]=0=Q_{n}(-X)$ . Par conséquent, $P_{n}=Q_{n}.\quad \Box$