Théorème d'Erdős-Selfridge
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En mathématiques, le théorème d'Erdős-Selfridge (à ne pas confondre avec un théorème de théorie des jeux du même nom) est un théorème de la théorie des nombres concernant une équation diophantienne. Il a été démontré par les deux mathématiciens Paul Erdős et John L. Selfridge en 1975[1].
Ce problème traite de la question de savoir si un produit de plusieurs nombres naturels consécutifs peut être une puissance parfaite. Avec leur théorème, Erdős et Selfridge fournissent une solution complète à ce problème et répondent à la question par la négative.
Énoncé[1] :
- Le produit d'au moins deux entiers naturels non nuls consécutifs n'est jamais une puissance d'entier.
De façon plus formelle :
- L' équation diophantienne
- n'a pas de solution pour des entiers .
NB : le problème pour se résout de manière élémentaire[2].
Théorèmes connexes
Paul Erdős a également résolu deux problèmes du même type :
- Le produit de deux ou plusieurs entiers naturels impairs consécutifs n'est jamais une puissance d'entier (Erdős 1939).
- Le coefficient binomial pour n'est jamais une puissance d'entier (Erdős 1951)[3].
