Théorème d'Itō-Nisio

Soit ${\displaystyle (E,\|\cdot \|)}$ un séparable espace de Banach sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tel que la norme induit une topologie et ${\displaystyle E^{*}}$ son espace dual.

Avec ${\displaystyle X:\Omega \to E}$, on définit une ${\displaystyle E}$-variable aléatoire, c'est-à-dire une variable aléatoire à valeur de Banach. Avec ${\displaystyle \langle z,S\rangle$ :={}_{E^{*}}\langle z,S\rangle _{E}} on note le paire duale.

Soit ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ des ${\displaystyle E}$-variables aléatoires indépendants et symétriques sur le même espace de probabilité. Soit ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{n}}$ leur somme et ${\displaystyle \mu _{n}}$ la mesure de probabilité de ${\displaystyle S_{n}}$. De plus, soit ${\displaystyle S}$ une ${\displaystyle E}$-variable aléatoire. Alors les énoncés suivants sont équivalents :

1. ${\displaystyle S_{n}\to S}$ presque sûrement.
2. ${\displaystyle S_{n}\to S}$ en probabilité.
3. ${\displaystyle \mu _{n}}$ converge dans la métrique de Prokhorov.
4. ${\displaystyle \{\mu _{n}\}}$ sont tendu.
5. ${\displaystyle \langle z,S_{n}\rangle \to \langle z,S\rangle }$ en probabilité pour chaque ${\displaystyle z\in E^{*}}$.
6. Il existe une mesure de probabilité ${\displaystyle \mu }$ sur ${\displaystyle E}$ telle que pour tout ${\displaystyle z\in E^{*}}$

${\displaystyle \mathbb {E} [{\rm {e}}^{{\rm {i}}\langle z,S_{n}\rangle }]\to \int _{E}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\langle z,x\rangle }\mu (\mathrm {d} x).}$

• Kiyosi Itō et Makiko Nisio, « On the convergence of sums of independent Banach space valued random variables », Osaka Journal of Mathematics, Osaka University and Osaka Metropolitan University, Departments of Mathematics, vol. 5, n^o 1,‎ 1968, p. 35–48 (lire en ligne)
• Nobuyuki Ikeda et Setsuo Taniguchi, « The Itô–Nisio theorem, quadratic Wiener functionals, and 1-solitons », Stochastic Processes and their applications, vol. 120, n^o 5,‎ 2010, p. 605–621 (DOI 10.1016/j.spa.2010.01.009, lire en ligne)

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