Théorème d'Orlicz-Pettis

En analyse fonctionnelle (mathématique), le théorème d'Orlicz-Pettis établit un lien, pour une série dans un espace de Banach, entre la convergence des sous-séries pour la topologie faible et pour la topologie forte (celle de la norme) :

Pour une série ${\displaystyle \Sigma _{n}x_{n}}$ dans un espace de Banach, si toutes les sous-séries ${\displaystyle \Sigma _{m}x_{n_{m}}}$ (${\displaystyle n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots }$) sont faiblement convergentes alors elles le sont aussi fortement, autrement dit^[1] la série est inconditionnellement convergente.

Ce théorème a été démontré en 1929 par Władysław Orlicz^[2] dans le cas d'un espace vectoriel normé faiblement séquentiellement complet^[3] puis, indépendamment, en 1938 par Billy James Pettis dans le cas général^[4]. Des preuves modernes^[5] utilisent l'intégrale de Bochner. À l'inverse, c'est justement la théorie des intégrales à valeurs vectorielles qui motivait Pettis pour ce théorème. Ce résultat a connu toute une série de généralisations. Par exemple pour une série dans un espace localement convexe, si toutes les sous-séries convergent faiblement alors elles convergent pour la topologie de Mackey (en)^[6].