Théorème d'interversion des limites

Soient

• X et Y deux espaces topologiques,
• E un espace métrique complet,
• a un point adhérent dans X à une partie A,
• b un point adhérent dans Y à une partie B et
• f une application de A × B dans E.

On suppose qu'il existe des applications g : A → E et h : B → E telles que

1. ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)=g(x)}$ uniformément sur A et
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)=h(y)}$ simplement sur B.

Alors f possède une limite au point (a, b) ; en particulier, les limites de h en b et de g en a existent et sont égales :

${\displaystyle \lim _{y\to b}\left(\lim _{x\to a}f(x,y)\right)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=\lim _{x\to a}\left(\lim _{y\to b}f(x,y)\right)}$^[1],[2].

Le cas particulier B = ℕ, b = +∞ et Y = ℕ ∪ {+∞} muni de la topologie de l'ordre ou de la topologie cofinie (pour lesquelles les voisinages +∞ sont les mêmes) donne :

Soient X un espace topologique, E un espace métrique complet, a un point adhérent dans X à une partie A et (f_n) une suite de fonctions de A dans E. Si

1. (f_n) converge uniformément sur A vers une fonction g et
2. pour tout entier n, la fonction f_n admet en a une limite h_n

alors la fonction g admet une limite en a et la suite (h_n) converge vers cette limite :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\lim _{x\to a}f_{n}(x)\right)=\lim _{x\to a}\left(\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\right)}$^[3].

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