Théorème de Girard

Tandis qu'en géométrie euclidienne, la somme des angles d'un triangle fait toujours ${\displaystyle 180}$° (ou ${\displaystyle \pi }$ radians), cette affirmation n'est plus vraie en géométrie sphérique. Cette somme est en effet supérieure à ${\displaystyle 180}$°. Dès lors, le théorème de Girard est un raffinement de cette dernière affirmation :

Dans le cas où la sphère a un rayon ${\displaystyle R}$ quelconque, la formule devient ${\displaystyle (\alpha +\beta +\gamma )=\pi +{\frac {\mathcal {A}}{R^{2}}}}$.

Cette formule découverte au XVII^e siècle trouve une généralisation quelque deux cents ans plus tard, en 1848, grâce à la formule de Gauss-Bonnet (locale). En considérant ${\displaystyle G}$ un espace simplement connexe délimité par une courbe lisse par morceaux, notés ${\displaystyle \gamma _{1},...,\gamma _{n}}$, sur une surface ${\displaystyle M}$, et en notant ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}$ les angles entre les morceaux, on a

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}k_{g}ds+\sum _{k=1}(\pi -\alpha _{k})=2\pi -\int _{G}Kd\sigma }$

où ${\displaystyle \int _{G}Kd\sigma }$ désigne la courbure de Gauss.

• Formule de Gauss-Bonnet

• (en) Victor V. Prasolov, Differential Geometry, Springer, coll. « Moscow Lectures », 2022, 271 p. (ISBN 978-3-030-92251-1)

• Baptiste Chantraine, « Le théorème de Girard pour les triangles sphériques », sur YouTube, mai 2017 (consulté le 22 juin 2024)

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