Théorème de Hopf-Rinow

• Le théorème de Hopf-Rinow entraine que toutes les variétés riemanniennes compactes, connexes sont géodésiquement complètes. Par exemple, la sphère est géodésiquement complète.
• L'espace euclidien ℝⁿ et les espaces hyperboliques sont géodésiquement complets.
• L'espace métrique M := ℝ²\{0} avec la métrique euclidienne induite n'est pas géodésiquement complet. En effet, dans M, deux points opposés ne sont reliés par aucune géodésique. L'espace métrique M n'est d'ailleurs pas complet, puisqu'il n'est pas fermé dans ℝ².

Soit G un groupe de Lie muni d'une métrique riemannienne bi-invariante (une telle métrique existe toujours si G est compact). L'exponentielle en l'élément neutre associée à une telle métrique coïncide avec l'exponentielle au sens de la théorie des groupes de Lie. En particulier, les géodésiques passant par l'élément neutre s'identifient aux sous-groupes à un paramètre. Par conséquent :

• pour tout groupe de Lie compact G, l'exponentielle (au sens de la théorie des groupes de Lie) est surjective ;
• le groupe de Lie SL(2, ℝ) n'admet aucune métrique riemannienne bi-invariante (puisque l'exponentielle n'est pas surjective, prendre par exemple ${\displaystyle {\begin{pmatrix}-2&0\\0&-1/2\end{pmatrix}}}$).

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