Théorème de Legendre

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Le théorème de Legendre qui suit concerne les équations diophantiennes de la forme ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$ où les coefficients ${\displaystyle a,b,c}$ satisfont les hypothèses suivantes :

1. ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle b<0}$ et ${\displaystyle c<0}$,
2. ${\displaystyle a,b,c}$ sont sans facteur carré et premiers entre eux deux à deux.

Le théorème de Legendre énonce alors que l'équation diophantienne ci-dessus a une solution (non triviale) si et seulement si :

• ${\displaystyle -ab}$ est résidu quadratique ${\displaystyle {\pmod {c}}}$,
• ${\displaystyle -bc}$ est résidu quadratique ${\displaystyle {\pmod {a}}}$ et
• ${\displaystyle -ca}$ est résidu quadratique ${\displaystyle {\pmod {b}}}$.