Théorème de relèvement

• Deux relèvements de γ diffèrent d'un multiple entier de 2π.
• Le résultat s'étend à une application sur un segment réel quelconque (par changement de variable) puis sur un intervalle réel quelconque (par réunion croissante de segments).
• Si f est une application continue d'un intervalle I dans ℂ*, on peut la mettre sous forme polaire en appliquant le théorème à γ := f/|f|. On obtient ainsi une application continue θ de I dans ℝ telle que${\displaystyle \forall x\in I\quad f(x)=|f(x)|{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta (x)}}$et si f est de classe C^k alors θ aussi.

Remarquons d'abord que :

• pour tout point x de [0, 1] et tout réel t tel que γ(x) = p(t), il existe un « relèvement local de γ » (défini et continu sur un voisinage de x dans [0, 1]) prenant en x la valeur t : il suffit de choisir un voisinage sur lequel γ n'atteint pas la valeur –γ(x) et d'utiliser que p est un homéomorphisme de ]t – π, t + π[ dans le cercle privé du point –γ(x) ;
• si deux relèvements locaux de γ, définis respectivement sur deux sous-intervalles J₁ et J₂ de [0, 1], coïncident en un point commun, alors leur différence est nulle sur tout l'intervalle J₁∩J₂ d'après le théorème des valeurs intermédiaires, puisqu'elle est nulle en ce point et ne peut prendre pour valeurs que des multiples entiers de 2π.

L'ensemble J des réels x de [0, 1] pour lesquels γ possède sur [0, x] un relèvement d'origine t₀ est donc un sous-intervalle de [0, 1] de la forme [0, c[ ou [0, c], et γ possède sur J un unique relèvement Γ d'origine t₀.

Il reste à montrer que J = [0, 1]. Soit Γ ' un relèvement local de γ sur un intervalle J' voisinage de c dans [0, 1]. En un point arbitraire de J∩J', ce relèvement Γ ', quitte à lui ajouter un multiple adéquat de 2π, coïncide avec Γ ; il coïncide alors sur J∩J', ce qui permet d'étendre Γ en un relèvement sur J∪J'. Par maximalité, J contient donc J'. Par conséquent, J est un voisinage dans [0, 1] de son extrémité c, ce qui prouve que c est égal à 1 et appartient à J.

On suppose ${\displaystyle \gamma \in C^{k}(I,S^{1})}$ avec ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{*}}$. Alors par analyse-synthèse, si ${\displaystyle \gamma =p\circ \theta }$, on a nécessairement :${\displaystyle {\begin{cases}\gamma '=\theta '\times \left(p\circ \theta \right)=\theta '\times \gamma \\\theta \left(0\right)=t_{0}\end{cases}}}$, ce qui implique que ${\displaystyle \theta :t\mapsto t_{0}+\int _{0}^{t}{\frac {\gamma '}{\gamma }}}$. On vérifie alors que ${\displaystyle \theta }$ définit bien un relèvement de ${\displaystyle \gamma }$ et qu'elle est de classe ${\displaystyle C^{k}}$ sur ${\displaystyle I}$.

• Propriété de relèvement des homotopies
• Propriété de prolongement des homotopies
• Degré d'une application
• Indice (analyse complexe)
• Logarithme complexe

• Portail de l'analyse