Torsade (mathématiques)

Si on a un ruban dont un bord est contenu dans un plan la torsion décrit alors de façon univoque la position de l'autre bord par rapport à ce plan. Dans ce cas, la torsade est un nombre entier car après un tour on doit revenir au point de départ. Si l'on a un ruban presque plat, le résultat sera un nombre proche d'un entier.

Donnons une orientation au ruban. Cela correspond à prendre un sens de parcours pour chaque bord, les bords vont dans le même sens. Choisissons une direction de l'espace ${\displaystyle {\hat {u}}}$ (c'est-à-dire que ${\displaystyle {\hat {u}}}$ est un vecteur de norme unité) et projetons le ruban sur un plan orthogonalement à cette direction. Notons par des flèches le sens de parcours des projections des bords. Comptons alors les croisements entre les projections des bords (les bords doivent être différents) de la façon suivante :

${\displaystyle +1}$		${\displaystyle -1}$

On appelle la somme de ces nombres ${\displaystyle \pm 1\mathrm {cr} ({\hat {u}})}$. La valeur de ${\displaystyle \mathrm {cr} ({\hat {u}})}$ est indépendante de l'orientation choisie pour le ruban. C'est le résultat qu'on obtient en calculant la formule (1) lorsque la courbe est aplatie. Si l'on fait maintenant la moyenne sur toutes les directions de projection ${\displaystyle {\hat {u}}}$ possibles, on obtient une deuxième formulation de la torsade ^[1]

${\displaystyle \mathrm {Tor} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {S} ^{2}}\mathrm {cr} ({\hat {u}})\,\mathrm {d} {\hat {u}}\qquad (2)}$

L'entortillement d'un ruban (en), ajouté à sa torsade, est un nombre entier appelé enlacement. Ce résultat est appelé théorème de Călugăreanu (en), formule de White ou théorème de Călugăreanu-White-Fuller.

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