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Tour de corps

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En mathématiques, une tour de corps est une suite d'extensions de corps

F₀ ⊆ F₁ ⊆ ... ⊆ F_n ⊆ ...

Le nom de tour vient du fait qu'une telle suite est souvent écrite sous la forme

{\begin{array}{c}\vdots \\|\\F_{2}\\|\\F_{1}\\|\\F_{0}.\end{array}}

Une tour de corps peut aussi bien être finie qu'infinie.

Q ⊆ R ⊆ C est une tour de corps finie composée des corps de nombres rationnels, réels puis complexes.
Soit la suite définie par F₀ = le corps Q des rationnels et
$F_{n+1}=F_{n}\left(2^{1/2^{n}}\right)$

(i.e. F_n+1 est obtenu à partir de F_n en ajoutant la racine 2ⁿ-ième de 2). Cette tour de corps est infinie.
Si p est un nombre premier, la p-ième tour cyclotomique de Q est obtenue en posant F₀ = Q et F_n = l'extension de Q par adjonction des racines pⁿ-ièmes de l'unité. Cette tour est à la base de la théorie d'Iwasawa.
Le théorème de Golod-Shafarevich montre qu'il existe des tours de corps infinies obtenues par l'itération du corps de classes de Hilbert à un corps de nombres.

Références

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